差集め算

1 個あたりの差が集まって全体の差になることを使い、「1 個 □ 円と 1 個 □ 円で同じ個数買うと代金の差が □ 円」のような問題で個数を求められる

前提

中学までに習ったことだけで始められます。

説明

値段のちがう 2 種類のものを同じ個数ずつ買ったとき、代金の差から個数を求める方法です。1 個ごとの小さな差が、個数の分だけ集まって全体の差になる、という考え方を使います。代金の問題のほかに、1 人に配る数を変えたときの差など、「1 つあたりの差」と「全体の差」がわかっている場面で使えます。

なぜそうしてよいのか

1 個 70 円のえんぴつと 1 個 40 円の消しゴムを、同じ個数ずつ買うとします。えんぴつと消しゴムを 1 個ずつペアにして考えると、1 ペアごとに代金の差は $70 - 40 = 30$ 円です。1 個ずつ買えば差は 30 円、2 個ずつなら $30 + 30 = 60$ 円、3 個ずつなら 90 円……と、1 個あたりの差 30 円が、買った個数の分だけ集まって全体の差になります。

つまり「1 個あたりの差 × 個数＝全体の差」です。だから、全体の差がわかっていれば、それが 1 個あたりの差の何こ分かを考えることで、個数がわかります。これが「差を集める」という名前の理由です。

手順

2 種類の 1 個あたりの値段の差（1 個あたりの差）を求める。
全体の差（代金の差など）を確かめる。
全体の差が 1 個あたりの差の何こ分かを考えて、個数を求める。（□ × 1 個あたりの差＝全体の差となる □。全体の差 ÷ 1 個あたりの差）
求めた個数で両方の代金を計算し、差が問題の数と合うか確かめる。

例題

1 本 70 円のえんぴつと 1 個 40 円の消しゴムを、同じ個数ずつ買いました。えんぴつの代金は消しゴムの代金より 240 円多くなりました。えんぴつを何本買いましたか。

例題の解答

手順 1: えんぴつ 1 本と消しゴム 1 個の値段の差は $70 - 40 = 30$ 円です。

手順 2: 全体の代金の差は 240 円です。

手順 3: 1 本・1 個ずつのペアごとに 30 円の差ができ、それが集まって 240 円になります。 $30 \times 8 = 240$ なので 8 こ分です（ $240 \div 30 = 8$ ）。よって個数は 8 です。

手順 4: えんぴつの代金は $70 \times 8 = 560$ 円、消しゴムの代金は $40 \times 8 = 320$ 円で、差は $560 - 320 = 240$ 円となり合っています。

答えは 8 本です。

答え: $8$

よくある誤り

全体の差を、1 個あたりの差ではなく片方の値段でわってしまう誤り。例: $240 \div 70$ や $240 \div 40 = 6$ としてしまう。正しくは 1 個あたりの差 $70 - 40 = 30$ 円でわって $240 \div 30 = 8$ 。
1 個あたりの差の代わりに、値段の和を使ってしまう誤り。例: $240 \div (70 + 40)$ を考えてしまう。正しくは、代金の「差」を求める問題なので、1 個あたりの「差」 $70 - 40 = 30$ 円を使う。
求めた個数を、もう一度代金や差にしてしまう誤り。例: $30 \times 8 = 240$ を見て答えを 240 としてしまう。正しくは、問われているのは個数なので 8 本。
確かめをしないで計算ミスを見のがす誤り。正しくは $70 \times 8 - 40 \times 8 = 240$ のように、求めた個数で代金の差を計算して問題と合うか確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
1 本 60 円のえん筆と、1 本 90 円のボールペンを、同じ本数ずつ買いました。ボールペンの代金は、えん筆の代金より 210 円高くなりました。えん筆を何本買いましたか。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の練習問題レベル）
$1$ 本 $80$ 円のえんぴつを何本か買うつもりでしたが、かわりに $1$ 本 $60$ 円のえんぴつを同じ本数だけ買ったので、代金は予定より $240$ 円安くなりました。えんぴつを何本買いましたか。

この技能の次に学べること

過不足算（算数いろいろな文章題）