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過不足算

「1 人に 4 個ずつ配ると 10 個あまり、6 個ずつ配ると 8 個たりない」のような配り方の問題で、全体の差（あまりとたりない分の和や差）を 1 人あたりの差でわって人数と全体の個数を求められる。「最後の 1 人は 2 個しかもらえず、残りの 2 人は 0 個」のような配り方は、たりない個数になおして同じように解ける

前提

説明

何人かに品物を配るとき、配り方を 2 通り変えたときの「あまる」「たりない」の情報から、人数と品物の全部の個数を求める方法です。2 つの配り方で必要な個数の差は、1 人あたりの差が人数分集まったもの、という差集め算の考え方を使います。「最後の 3 人のうち、1 人は 2 個しかもらえず、あとの 2 人は 0 個」のような配り方も、たりない個数になおせば同じように解けます。あめやノートを配る問題、長いすにすわる人数の問題など、中学入試でよく出る形です。

なぜそうしてよいのか

「1 人に 4 個ずつ配ると 10 個あまり、6 個ずつ配ると 8 個たりない」という場合を考えます。品物の個数はどちらの配り方でも同じです。

4 個ずつ配るのに必要な個数は、品物の個数より 10 個少なく、6 個ずつ配るのに必要な個数は、品物の個数より 8 個多いです。線分図で品物の個数を 1 本の線にかくと、4 個ずつの分はそれより 10 短く、6 個ずつの分はそれより 8 長くなります。だから、「6 個ずつ配るのに必要な個数」と「4 個ずつ配るのに必要な個数」の差は 個です。

一方、1 人あたりでは 個多く配っているので、この 2 個の差が人数分集まって 18 個の差になります（差集め算）。だから 2 が何こ分で 18 になるかを考えれば人数がわかります。

「あまる」と「たりない」のときは差を足しますが、両方「あまる」（または両方「たりない」）のときは、線が同じがわにずれるので差を引きます。

また、「6 個ずつ配っていくと、最後の 3 人のうち、1 人は 2 個しかもらえず、あとの 2 人は 1 個ももらえない（0 個）」のような配り方は、「全員に 6 個ずつ配るには、あと何個たりないか」になおします。2 個もらった 1 人には、あと 個たりません。0 個の 2 人には、1 人 6 個ずつで 個たりません。合わせて 個たりないので、「6 個ずつ配ると 16 個たりない」と同じです。こうなおせば、あとはふつうの過不足算として解けます。

手順

  1. 2 つの配り方のそれぞれで、品物があまるか、たりないか、何個かを読み取る。「最後の 3 人のうち、1 人は 2 個で、あとの 2 人は 0 個」のような配り方は、全員に同じ数ずつ配るのにたりない個数になおす（6 個ずつなら、 個と 個で、 個たりない）。

  2. 2 つの配り方で必要な個数の差（全体の差）を求める。あまりとたりないなら和、両方あまり（両方たりない）なら差。

  3. 2 つの配り方の 1 人あたりの個数の差を求める。

  4. 全体の差が 1 人あたりの差の何こ分かを考えて、人数を求める。（全体の差 ÷ 1 人あたりの差）

  5. 人数から品物の個数を求める（1 人あたりの個数 × 人数 ＋ あまり、または − たりない分）。もう一方の配り方でも同じ個数になるか確かめる。

例題

子どもたちにあめを配ります。1 人に 4 個ずつ配ると 10 個あまり、1 人に 6 個ずつ配ると 8 個たりません。あめは全部で何個ありますか。

例題の解答

手順 1: 4 個ずつ配ると 10 個あまり、6 個ずつ配ると 8 個たりません。「最後の何人かが少ししかもらえない」配り方ではないので、なおす必要はありません。

手順 2: 「あまる」と「たりない」なので、全体の差は和になります。6 個ずつ配るのに必要な個数は、4 個ずつ配るのに必要な個数より 個多いです。

手順 3: 1 人あたりの個数の差は 個です。

手順 4: 1 人あたり 2 個の差が人数分集まって 18 個になるので、 より人数は 人です。

手順 5: あめの個数は、4 個ずつ配って 10 個あまるので 個です。確かめると、6 個ずつ配るには 個必要で、 個たりないので合っています。

答えは 46 個です。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること