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技能一覧 › 中学数学 方程式

1 次方程式の文章題

過不足・年齢・速さ・割合などの場面で、求める数量を とおいて 1 次方程式を立てて解き、解が問題に合うか確かめて答えを求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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説明

過不足・年齢・速さ・割合などの文章題で、求めたい数量を とおき、問題文の中の「等しい関係」を式に表して 1 次方程式を立て、解いて答えを求められるようになります。小学校で線分図や面積図を使って解いていた問題も、方程式なら決まった手順で立式でき、複雑な問題でも解きやすくなります。最後に、解が問題の場面に合っているかを確かめることも大切です。

なぜそうしてよいのか

同じ量を 2 通りに表す 文章題で方程式が立てられるのは、問題文の中に「同じ量を 2 通りの方法で表せる」ところがあるからです。たとえば過不足の問題では「配るあめの全体の個数」が、配り方 2 通りでそれぞれ式に表せます。速さの問題では「家から駅までの道のり」や「かかった時間の差」が 2 通りに表せます。この 2 つの式を で結んだものが方程式です。

わからない数を とおく 小学校の解き方では、線分図をかいて差に注目し、逆算で答えを求めました。方程式では、わからない数量をそのまま とおき、わかっている数と同じように式の中で使えます。 を使って関係を文章の順番どおりに式にすれば、あとは 1 次方程式の解き方（移項・かっこをはずす・分母をはらう）で機械的に解けます。

解を確かめる 方程式の解は、式としては正しくても、場面に合わないことがあります。人数や個数なら自然数でなければなりませんし、年齢が負の数になったり、道のりが全体より長くなったりしてはいけません。だから、解が問題の条件に合うかを最後に確かめてから答えにします。

手順

  1. 何を求めるのかを確かめ、求める数量（または求めやすい数量）を とおく。単位も決めておく

  2. ほかの数量を を使った式で表す（速さなら 時間 道のり 速さ、割合なら など）。単位をそろえる

  3. 問題文から、同じ量を 2 通りに表せる「等しい関係」を見つけ、方程式を立てる

  4. 方程式を解く

  5. 解が問題の場面に合うか（自然数か、範囲に入るかなど）を確かめ、問われている数量を答える

例題

家から駅まで歩いて行くのに、分速 60 m で歩くと予定の時刻より 5 分おくれて着き、分速 80 m で歩くと予定の時刻より 3 分早く着く。家から駅までの道のりは何 m か求めよ。

例題の解答

【手順 1】家から駅までの道のりを m とおきます。

【手順 2】分速 60 m でかかる時間は 分、分速 80 m でかかる時間は 分です。

【手順 3】分速 60 m のときは予定より 5 分おそく、分速 80 m のときは予定より 3 分早いので、かかる時間の差は 分です。よって

【手順 4】両辺に 60 と 80 の最小公倍数 240 をかけて

【手順 5】道のりが 1920 m のとき、分速 60 m なら 分、分速 80 m なら 分で、差は 8 分です。予定は 分、 分で一致し、問題に合います。答えは 1920 m です。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること