方程式の問題

$x$ についての 2 次方程式 $x^2+ax+b=0$ の 2 つの解は、2 次方程式 $x^2-2x-15=0$ の 2 つの解にそれぞれ $2$ を加えた数である。定数 $a,b$ の値を求めよ。答えは $(a,b)$ の組で、この順に書け。

1 辺の長さが $12\text{cm}$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ がある。点 $\mathrm{P}$ は頂点 $\mathrm{A}$ を出発して辺 $\mathrm{AB}$ 上を頂点 $\mathrm{B}$ に向かって毎秒 $1\text{cm}$ の速さで動き、点 $\mathrm{Q}$ は点 $\mathrm{P}$ と同時に頂点 $\mathrm{B}$ を出発して辺 $\mathrm{BC}$ 上を頂点 $\mathrm{C}$ に向かって毎秒 $2\text{cm}$ の速さで動く。点 $\mathrm{Q}$ が頂点 $\mathrm{C}$ に着いたとき、2 点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ は同時に止まる。$△\mathrm{PBQ}$ の面積が $27{\text{cm}}^2$ になるのは、2 点が出発してから何秒後か求めよ。

川の上流に A 地点、下流に B 地点があり、川に沿った A 地点と B 地点の間の距離は $30\text{km}$ です。ある船でこの間を往復したところ、A 地点から B 地点まで下るのに $1$ 時間 $30$ 分、B 地点から A 地点まで上るのに $2$ 時間 $30$ 分かかりました。

別の日に、川の流れの速さがこの日の $2$ 倍になっていました。この日に、同じ船が B 地点から A 地点まで上るのに何分かかるか求めなさい。

ただし、静水での船の速さと川の流れの速さはそれぞれ一定で、静水での船の速さは 2 つの日で同じとします。また、下るときの船の速さは（静水での船の速さ）$+$（川の流れの速さ）、上るときの船の速さは（静水での船の速さ）$-$（川の流れの速さ）とします。

一定の速さで走る列車がある。この列車が長さ $900\text{m}$ の鉄橋を渡るとき、列車の先頭が鉄橋に入ってから列車の最後尾が鉄橋を出るまでに $45$ 秒かかった。また、同じ速さで長さ $2100\text{m}$ のトンネルを通過するとき、列車全体がトンネルの中に入っていて外から見えなかった時間は $75$ 秒であった。この列車の長さは何 $\text{m}$ か求めよ。

空の水そうに水を入れる。A 管だけを使うと $24$ 分で満水になり、B 管だけを使うと $40$ 分で満水になる。はじめに A 管だけで何分間か水を入れ、その後 A 管と B 管の両方を使って水を入れたところ、水を入れ始めてからちょうど $18$ 分で満水になった。A 管だけで水を入れていたのは何分間か求めよ。