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方程式の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学方程式

$x$ についての 2 次方程式 $x^{2} + a x + b = 0$ の 2 つの解は、2 次方程式 $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ の 2 つの解にそれぞれ $2$ を加えた数である。定数 $a, b$ の値を求めよ。答えは $(a, b)$ の組で、この順に書け。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（24 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント 1

まず $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ を解いて、求める方程式の 2 つの解を具体的な数で表しましょう。

ヒント 2

$x^{2} - 2 x - 15 = (x - 5) (x + 3)$ です。求める方程式の解は、この解にそれぞれ $2$ を加えた数です。

ヒント 3

求める方程式の解は $x = 7, - 1$ です。これらを $x^{2} + a x + b = 0$ に代入すると、 $49 + 7 a + b = 0$ と $1 - a + b = 0$ の連立方程式ができます。

答えを見る

(- 6, - 7)

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解説を読む

まず $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ を解く。左辺を因数分解すると
$(x - 5) (x + 3) = 0$
より $x = 5, - 3$ である。

それぞれに $2$ を加えると $7$ と $- 1$ になるので、 $x^{2} + a x + b = 0$ の解は $x = 7, - 1$ である。

$x = 7$ を代入すると
$49 + 7 a + b = 0 (1)$
$x = - 1$ を代入すると
$1 - a + b = 0 (2)$

$(1) - (2)$ より
$48 + 8 a = 0$
よって $a = - 6$ 。これを $(2)$ に代入すると $1 + 6 + b = 0$ より $b = - 7$ 。

確かめると、 $x^{2} - 6 x - 7 = (x - 7) (x + 1)$ となり、解は $x = 7, - 1$ で条件に合う。

よって $(a, b) = (- 6, - 7)$ 。

別解

$x^{2} - 2 x - 15 = 0$ を因数分解すると $(x - 5) (x + 3) = 0$ なので、解は $x = 5, - 3$ です。それぞれに $2$ を加えると $7, - 1$ です。

したがって $x^{2} + a x + b = 0$ の解は $7$ と $- 1$ なので、 $x^{2} + a x + b = (x - 7) (x + 1)$ と因数分解できます。展開すると $x^{2} - 6 x - 7$ なので、 $a = - 6, b = - 7$ です。

検算: $x = 7$ を代入すると $49 - 42 - 7 = 0$ 、 $x = - 1$ を代入すると $1 + 6 - 7 = 0$ となり、どちらも成り立ちます。