方程式の問題

解の公式より
$$x=\frac{6\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\times 2\times 1}}{2\times 2}=\frac{6\pm \sqrt{28}}{4}=\frac{6\pm 2\sqrt{7}}{4}=\frac{3\pm \sqrt{7}}{2}$$
大きい方は $p=\frac{3+\sqrt{7}}{2}$ である。

$p$ はもとの方程式の解なので
$$2p^2-6p+1=0$$
が成り立ち、$2p^2=6p-1$ である。これを使うと
$$2p^2-4p=(6p-1)-4p=2p-1$$
ここに $p=\frac{3+\sqrt{7}}{2}$ を代入して
$$2p-1=(3+\sqrt{7})-1=2+\sqrt{7}$$

（参考：直接計算しても、$p^2=\frac{(3+\sqrt{7}{)}^2}{4}=\frac{16+6\sqrt{7}}{4}=\frac{8+3\sqrt{7}}{2}$ より $2p^2=8+3\sqrt{7}$、$4p=6+2\sqrt{7}$ なので $2p^2-4p=2+\sqrt{7}$ となり、一致する。）

よって $2p^2-4p=2+\sqrt{7}$。

$2x^2-6x+1=0$ を解の公式で解くと $x=\frac{6\pm \sqrt{36-8}}{4}=\frac{6\pm 2\sqrt{7}}{4}=\frac{3\pm \sqrt{7}}{2}$。大きい方は $p=\frac{3+\sqrt{7}}{2}$ です。

$p$ は方程式の解なので $2p^2-6p+1=0$、よって $2p^2=6p-1$ です。したがって
$2p^2-4p=(6p-1)-4p=2p-1$
$=2\times \frac{3+\sqrt{7}}{2}-1=3+\sqrt{7}-1=2+\sqrt{7}$。

検算: $\sqrt{7}\fallingdotseq 2.6458$ より $p\fallingdotseq 2.8229$、$2p^2-4p\fallingdotseq 2\times 7.9687-11.2915\fallingdotseq 4.6458$ で、$2+\sqrt{7}\fallingdotseq 4.6458$ と一致します。