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方程式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学方程式

$a$ を定数とする。 $x$ についての 2 次方程式 $x^{2} + a x + 3 a - 2 = 0$ の解の 1 つが $x = 4$ であるとき、もう 1 つの解を求めよ。

この問題で使うもの

2 次方程式の解の代入（係数の決定・式の値）（説明と入口の問題）
因数分解による 2 次方程式の解き方（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（24 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

解がわかっているときは、その値を方程式の $x$ に代入すると、 $a$ についての方程式ができる。

ヒント 2

$x = 4$ を代入すると $16 + 4 a + 3 a - 2 = 0$ となる。これを解いて $a$ を求めよう。

ヒント 3

$a = - 2$ のとき、方程式は $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ になる。これを因数分解して解こう。

答えと解説

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- 2

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解説を読む

$x = 4$ が解なので、方程式に代入すると
$4^{2} + 4 a + 3 a - 2 = 0$
$16 + 7 a - 2 = 0$
$7 a = - 14$
$a = - 2$
これをもとの方程式に代入すると
$x^{2} - 2 x + 3 \times (- 2) - 2 = 0$
$x^{2} - 2 x - 8 = 0$
かけて $- 8$ 、たして $- 2$ になる 2 数は $- 4$ と $2$ なので
$(x - 4) (x + 2) = 0$
$x = 4, - 2$
よって、もう 1 つの解は $x = - 2$ である。

別解

$x = 4$ を代入して $16 + 4 a + 3 a - 2 = 0$ 、 $7 a = - 14$ より $a = - 2$ 。方程式は $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 、 $(x - 4) (x + 2) = 0$ より $x = 4, - 2$ 。もう1つの解は $- 2$ 。検算: $x = - 2$ で $4 + 4 - 8 = 0$ 。

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