解から連立方程式の係数を求める

連立方程式 $a x + b y = - 4, b x - a y = 19$ の解が $x = 3, y = - 2$ のように解が与えられたとき、代入して $a, b$ についての連立方程式を作り、係数を求められる

前提

連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
解から 1 次方程式の係数を求める（中学数学方程式）

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算数中学高校大学大学院

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解から 1 次方程式の係数を求める（中学数学方程式）

説明

連立方程式の中に $a, b$ のようなわからない係数がふくまれていて、その解だけがわかっているとき、係数 $a, b$ の値を求められるようになります。解を代入すると、今度は $a, b$ についての連立方程式ができるので、それを加減法や代入法で解きます。入試でもよく出る「解から係数を逆にたどる」問題で使います。

なぜそうしてよいのか

「 $x = 3, y = - 2$ が連立方程式の解である」とは、 $x = 3, y = - 2$ を 2 つの式のどちらに代入しても等式が成り立つ、という意味です。1 次方程式で解を代入して係数 $a$ についての方程式を作ったのと同じ考え方です。

連立方程式の 2 つの式それぞれに $x, y$ の値を代入すると、 $x, y$ は数になり、残る文字は $a$ と $b$ だけです。式が 2 つ、わからない文字が 2 つなので、これは $a, b$ についての連立方程式になります。これを加減法や代入法で解けば、係数が求まります。

たとえば $a x + b y = - 4, b x - a y = 19$ に $x = 3, y = - 2$ を代入すると $3 a - 2 b = - 4, 3 b + 2 a = 19$ となります。 $x, y$ の役割をしていた文字が $a, b$ に入れかわった、と考えるとわかりやすいです。

手順

与えられた解（ $x, y$ の値）を、連立方程式の 1 つ目の式に代入する
同じ解を 2 つ目の式にも代入する
代入してできた 2 つの式を、 $a, b$ について整理する（ $a$ の項、 $b$ の項を左辺に、数を右辺に）
整理した $a, b$ の連立方程式を、加減法または代入法で解く
求めた $a, b$ と与えられた解をもとの式に代入して、成り立つか確かめる

例題

$x, y$ についての連立方程式 $a x + b y = 7, b x + a y = 8$ の解が $x = 2, y = 1$ であるとき、 $a, b$ の値を順に求めよ。

例題の解答

手順 1: 1 つ目の式 $a x + b y = 7$ に $x = 2, y = 1$ を代入すると $2 a + b = 7$ …①

手順 2: 2 つ目の式 $b x + a y = 8$ に代入すると $2 b + a = 8$ …②

手順 3: ②を $a, b$ の順に並べると $a + 2 b = 8$ …②'

手順 4: ①×2 は $4 a + 2 b = 14$ 。これから②'をひくと $3 a = 6$ 、よって $a = 2$ 。①に代入して $4 + b = 7$ 、 $b = 3$ 。

手順 5: 確かめ。 $a x + b y = 2 \times 2 + 3 \times 1 = 7$ 、 $b x + a y = 3 \times 2 + 2 \times 1 = 8$ で、どちらも成り立つ。

よって $a = 2, b = 3$ 。

答え: $(2, 3)$

よくある誤り

$a$ と $b$ の位置を取り違えて代入する誤り。 $b x + a y = 8$ に $x = 2, y = 1$ を代入して $2 a + b = 8$ とするのは誤り。 $x$ にかかっているのは $b$ なので、正しくは $2 b + a = 8$
負の数を代入するときにかっこを付けず符号を間違える誤り。 $b y$ に $y = - 2$ を代入して $b - 2$ や $2 b$ とするのは誤り。正しくは $b \times (- 2) = - 2 b$
解いた $x, y$ と $a, b$ を混同する誤り。 $a, b$ の連立方程式を解いたあとで、もう一度 $x, y$ を求め直してしまう。求めるのは係数 $a, b$ であり、 $x, y$ はすでに与えられている
代入したあとの式を整理せずに加減法を使い、文字の項をそろえられなくなる誤り。 $2 b + a = 8$ はまず $a + 2 b = 8$ と並べ直してから、①と係数をそろえる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x, y$ についての連立方程式
${a x + b y = 7 b x + a y = 8$
の解が $x = 2, y = 1$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求め、 $(a, b)$ の組で答えなさい。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 次方程式の解の代入（係数の決定・式の値）（中学数学方程式）