方程式の問題

2 つの連立方程式が同じ解をもつので、その解は 4 つの方程式すべてを満たします。そこで、まず $a$, $b$ をふくまない 2 つの方程式を組にして解きます。
$$\{\begin{array}{ll}2x-y=5& (1)\\ 3x+2y=4& (2)\end{array}$$
$(1)\times 2+(2)$ より
$$4x-2y+3x+2y=10+4$$
$$7x=14$$
$$x=2$$
$(1)$ に代入して $4-y=5$ より $y=-1$。

$x=2$, $y=-1$ を残りの 2 つの方程式に代入すると
$$\{\begin{array}{ll}2a-b=10& (3)\\ 2b+a=-5& (4)\end{array}$$
$(3)$ より $b=2a-10$。これを $(4)$ に代入して
$$2(2a-10)+a=-5$$
$$5a-20=-5$$
$$a=3$$
$b=2\times 3-10=-4$。

確かめ: $ax+by=3\times 2+(-4)\times (-1)=10$、$bx-ay=(-4)\times 2-3\times (-1)=-5$ で、条件に合います。

よって $(a,b)=(3,-4)$ です。

$a,b$ を含まない式 $2x-y=5$ と $3x+2y=4$ を連立して解く。
$2x-y=5$ より $y=2x-5$。これを $3x+2y=4$ に代入して $3x+4x-10=4$、$7x=14$、$x=2$、$y=-1$。
この解を $ax+by=10$、$bx-ay=-5$ に代入する。
$2a-b=10$ …①
$2b+a=-5$ …②
②より $a=-5-2b$。①に代入して $-10-4b-b=10$、$-5b=20$、$b=-4$。$a=-5+8=3$。
検算: $3\times 2+(-4)\times (-1)=10$、$(-4)\times 2-3\times (-1)=-5$。