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方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル中学数学方程式

$x, y$ についての連立方程式
${a x + b y = 7 b x + a y = 8$
の解が $x = 2, y = 1$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求め、 $(a, b)$ の組で答えなさい。

この問題で使うもの

解から連立方程式の係数を求める（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（16 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「解から連立方程式の係数を求める」技能を使います。解 $x = 2, y = 1$ を 2 つの式に代入しましょう。

ヒント 2

代入すると $2 a + b = 7$ 、 $a + 2 b = 8$ という $a, b$ についての連立方程式ができます。

ヒント 3

加減法で $b$ を消去すると $3 a = 6$ となります。

答えと解説

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(2, 3)

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解説を読む

$x = 2, y = 1$ は連立方程式の解なので、2 つの式の両方を成り立たせます。それぞれの式に $x = 2, y = 1$ を代入します。

1 つ目の式: $a \times 2 + b \times 1 = 7$ より
$2 a + b = 7 (1)$

2 つ目の式: $b \times 2 + a \times 1 = 8$ より
$a + 2 b = 8 (2)$

これは $a, b$ についての連立方程式です。加減法で解きます。 $(1) \times 2$ より $4 a + 2 b = 14$ 。ここから $(2)$ をひくと
$4 a + 2 b - (a + 2 b) = 14 - 8$
$3 a = 6$
$a = 2$

$a = 2$ を $(1)$ に代入すると $4 + b = 7$ より $b = 3$ 。

確かめ: $a = 2, b = 3$ のとき、 $2 x + 3 y = 7$ 、 $3 x + 2 y = 8$ に $x = 2, y = 1$ を代入すると $4 + 3 = 7$ 、 $6 + 2 = 8$ で成り立ちます。

答えは $(a, b) = (2, 3)$ です。

別解

$x = 2, y = 1$ を代入すると $2 a + b = 7$ …①、 $2 b + a = 8$ …② です。①より $b = 7 - 2 a$ で、②に代入して $2 (7 - 2 a) + a = 8$ 、 $14 - 3 a = 8$ 、 $a = 2$ です。①に代入して $b = 7 - 4 = 3$ です。検算： $a = 2, b = 3$ のとき、 $2 \times 2 + 3 \times 1 = 7$ 、 $3 \times 2 + 2 \times 1 = 8$ で、どちらも成り立ちます。

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