小数と分数のまじった計算

小数を分数になおして（例: $0.6 = \frac{3}{5}$ 、 $1.25 = \frac{5}{4}$ ）、小数と分数が混じった四則の式（例: $\frac{5}{6} \times 0.6 + 1 \frac{1}{4} \div 2.5$ ）を分数で計算できる

前提

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）

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算数中学高校大学大学院

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小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）

説明

$\frac{5}{6} \times 0.6$ や $1 \frac{1}{4} \div 2.5$ のように、小数と分数がまじった式を、小数を分数になおしてそろえてから計算できるようになります。 $\frac{1}{3}$ のように小数でぴったり表せない分数があるので、分数にそろえると、割り切れないことを心配せずに正確に計算できます。中学入試の計算問題でよく出る形です。

なぜそうしてよいのか

小数は、もともと分母が 10, 100, 1000 の分数を別の書き方で表したものです。 $0.6$ は 0.1 が 6 こなので $\frac{6}{10}$ 、 $1.25$ は 0.01 が 125 こなので $\frac{125}{100}$ です。これを約分すると $0.6 = \frac{3}{5}$ 、 $1.25 = \frac{5}{4}$ となります。小数点より下が 1 けたなら分母は 10、2 けたなら 100、3 けたなら 1000 です。

反対に、分数を小数になおそうとすると、 $\frac{1}{3} = 1 \div 3 = 0.333 \dots$ のようにどこまでも続いて、ぴったりの小数にならないことがあります。そのため、小数と分数がまじった式は「分数にそろえる」ほうが確実です。分数にそろえてしまえば、あとは分数のかけ算・わり算・たし算・ひき算と同じです。

よく出る小数は、覚えておくと速く計算できます。 $0.5 = \frac{1}{2}$ 、 $0.25 = \frac{1}{4}$ 、 $0.75 = \frac{3}{4}$ 、 $0.2 = \frac{1}{5}$ 、 $0.125 = \frac{1}{8}$ などです。式の中では、かっこの中を先に、次にかけ算・わり算を左から、最後にたし算・ひき算を左から計算するという順番を守ります。

手順

小数を、分母が 10・100・1000 の分数になおし、約分する（例: $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ ）
帯分数は仮分数になおす
かっこの中、かけ算・わり算、たし算・ひき算の順に計算する。わり算はわる数の逆数をかけ、途中で約分する
たし算・ひき算は通分してから計算し、答えを約分する

例題

$1 \frac{2}{3} \times 0.6 - 0.25 \div \frac{3}{4}$ を計算しなさい。

例題の解答

手順1: 小数を分数になおします。 $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ 、 $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ です。

手順2: $1 \frac{2}{3}$ を仮分数になおすと $\frac{5}{3}$ です。式は $\frac{5}{3} \times \frac{3}{5} - \frac{1}{4} \div \frac{3}{4}$ になります。

手順3: かけ算・わり算を先に計算します。
$\frac{5}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{5 \times 3}{3 \times 5} = 1$
$\frac{1}{4} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{1 \times 4}{4 \times 3} = \frac{1}{3}$

手順4: 最後にひき算をします。 $1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

答えは $\frac{2}{3}$ です。

答え: $\frac{2}{3}$

よくある誤り

小数を分数になおすとき、分母のけたをまちがえる誤り。 $0.25$ を $\frac{25}{10}$ としてはいけません。小数点より下が 2 けたなので分母は 100 で、正しくは $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ です。
分数を小数になおして計算し、割り切れない数を途中で打ち切ってしまう誤り。 $\frac{1}{3} + 0.5$ を $0.33 + 0.5 = 0.83$ としてはいけません。正しくは分数にそろえて $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$ です。
1 より大きい小数の整数の部分を落としてしまう誤り。 $1.25$ を $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ としてはいけません。正しくは $\frac{125}{100} = \frac{5}{4}$ （ $1 \frac{1}{4}$ ）です。
計算の順番を守らず、たし算・ひき算を先にしてしまう誤り。 $1 - 0.25 \div \frac{3}{4}$ を $\frac{3}{4} \div \frac{3}{4} = 1$ としてはいけません。正しくはわり算が先で、 $1 - \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次の計算をしなさい。答えは、できるだけ約分した分数で答えなさい。
$\frac{2}{3} \times 0.75$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
時計算（算数速さ）