時計の長針は 1 分間に 6 度、短針は 1 分間に 0.5 度進みます。2 時ちょうどから時計を見はじめます。2 時と 3 時の間で、長針と短針がはじめてぴったり重なるのは、2 時何分ですか。答えは分数で答えなさい（仮分数でも帯分数でもかまいません）。
時計算
長針は 1 分に 6 度、短針は 1 分に 0.5 度進むことを使い、長針と短針が重なる・一直線になる・ある角度になる時刻を、旅人算と同じように角度の差を速さの差 5.5 度でわって分数で求められる
前提
- 旅人算（出会い・追いつき） （算数 速さ）
- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
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- 旅人算（出会い・追いつき） （算数 速さ）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
説明
時計の長針と短針を、円の上を同じ向きに回る 2 人の旅人と見なして、2 本の針が重なる時刻、一直線になる時刻、ある角度になる時刻を求める方法です。長針が短針を「追いかける」ので、旅人算の追いつきと同じ考え方で解けます。答えはふつう「○時□分」の□が分数になります。
なぜそうしてよいのか
時計の文字盤は 1 周 360 度です。長針は 60 分で 1 周するので、1 分に 度進みます。短針は 12 時間（720 分）で 1 周するので、1 分に 度進みます。つまり 2 本の針は同じ向き（右回り）に、速さ 6 度/分と 0.5 度/分で進む 2 人の旅人です。
同じ向きに進む 2 人のあいだの距離は、1 分ごとに速さの差だけ縮まります（旅人算の追いつき）。時計なら 1 分に 度ずつ、長針が短針に近づきます。だから「長針が短針より何度後ろにいるか」がわかれば、それを 5.5 でわると、重なるまでの時間（分）が求められます。一直線になる（180 度ひらく）ときや、ある角度になるときも、「長針があと何度分、短針との差を変えればよいか」を考えて 5.5 でわれば同じように求められます。
なので、5.5 でわることは をかけることと同じです。そのため答えはよく 11 分の いくつ という分数になります。
手順
スタートの時刻（ちょうど ○ 時）での 2 本の針の位置を角度で表す。12 の位置を 0 度とし、○ 時の短針は 度、長針は 0 度の位置にある。
スタートのとき、長針が短針より何度後ろにいるか（ちょうど ○ 時なら 度）を求める。
問われている状態にするために、長針が短針に対して何度分「追いつく」（または追いこす）必要があるかを考える。重なるときは今の差だけ、一直線なら今の差に 180 度を足した分（または引いた分）、ある角度なら今の差にその角度を足した分（または引いた分）。
その角度を、1 分あたりに差が変わる 5.5 度でわる。 なので、 をかけて分数で計算する。
求めた時間を「○ 時何分」の形にし、帯分数になおす。その時刻が問われている時間のはんい（例: 4 時と 5 時の間）に入っているか確かめる。
例題
4 時と 5 時の間で、時計の長針と短針がちょうど重なるのは 4 時何分ですか。分数で答えなさい。
例題の解答
手順 1: ちょうど 4 時のとき、長針は 12 の位置（0 度）、短針は 4 の位置にあります。1 目もり（1 時間分）は 度なので、短針は 度の位置です。
手順 2: 長針は短針より 120 度後ろにいます。
手順 3: 重なるには、長針がこの 120 度の差をちょうどうめればよいです。
手順 4: 長針は 1 分に 6 度、短針は 1 分に 0.5 度進むので、差は 1 分に 度ずつ縮まります。
なので、 分後に重なります。
手順 5: 分は 60 分より短いので、4 時と 5 時の間に入っています。よって、重なるのは 4 時 分です。
答え:
よくある誤り
短針が動くことを忘れて、長針の速さ 6 度だけでわってしまう誤り。例: 分としてしまう。正しくは、短針も 1 分に 0.5 度進むので、差の縮まる速さ 度でわり、 分。
文字盤の目もりをそのまま分として、「4 時に短針は 20 分の目もりにあるから 4 時 20 分に重なる」としてしまう誤り。正しくは、長針が 20 分の目もりに来るまでに短針も 度先に進んでいるので、角度の差を 5.5 でわって求める。
一直線になるときに、差の 180 度をたすか引くかを考えずに一方だけで答えてしまう誤り。例: 4 時と 5 時の間で一直線になる時刻を 分としてしまう。このとき長針はまだ短針より 度後ろにいるので一直線ではない。正しくは、長針が短針に 120 度追いついたあとさらに 180 度追いこすときなので 分。
でわる計算を小数のまま進めて割り切れずに困ったり、途中で四捨五入してしまう誤り。正しくは と分数になおし、 を として計算する。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
時ちょうどから 時ちょうどまでの間で、時計の長針と短針がぴったり重なるのは 時何分ですか。答えは分数で答えなさい。
時計が 8 時 20 分をさしています。このとき、時計の長針と短針のつくる角のうち、小さいほうの角は何度ですか。ただし、長針と短針はそれぞれ一定の速さでなめらかに動くものとします。
時計の長針と短針がつくる角の大きさは、 度以上 度以下の小さいほうの角で考えます。 時から 時までの間で、長針と短針のつくる角の大きさが 回目に 度になるのは、 時何分ですか。答えは分数で答えなさい。
時から 時までの間で、時計の長針と短針が一直線になり、反対の向きをさす（2 つの針のつくる角が 度になる）のは、 時何分ですか。答えは帯分数ではなく、仮分数または整数で答えなさい。
時計の長針と短針は、それぞれ一定の速さでなめらかに動くものとします。 時から 時までの間で、長針と短針がちょうど一直線になる（長針と短針のつくる角が 度になる）のは、 時何分ですか。答えは分数で表しなさい。
4 時ちょうどから 5 時ちょうどまでの間で、時計の長針と短針のつくる角がはじめて 90 度になるのは、4 時何分ですか。答えは分数で答えなさい（仮分数でも帯分数でもかまいません）。