m はなれた A 地点と B 地点があります。兄は A 地点から B 地点に向かって分速 m で、弟は B 地点から A 地点に向かって分速 m で、同時に出発しました。2 人が出会うのは、出発してから何分後ですか。
旅人算（出会い・追いつき）
2 人が向かい合って進むときは速さの和、同じ向きに進むときは速さの差を使って、出会うまで・追いつくまでの時間や、その地点を求められる（池のまわりを回る場合もふくむ）
前提
- 速さ・時間・道のりの関係 （算数 速さ）
この技能までの道筋（2 技能）
読み込み中…
右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
一覧で見る（前提が先）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 速さ・時間・道のりの関係 （算数 速さ）
説明
2 人が動くとき、向かい合って進めば「速さの和」、同じ向きに進めば「速さの差」で 2 人の間の道のりが変わることを使って、出会うまでの時間や追いつくまでの時間、その地点を求められるようになります。池のまわりを 2 人が回るときに、出会ったり追いこしたりするまでの時間も同じ考え方で求められます。このような問題を旅人算といいます。
なぜそうしてよいのか
2 人がそれぞれどこにいるかを追いかけるより、「2 人の間の道のり」がどう変わるかに注目すると簡単になります。
向かい合って進むとき、1 分間に A さんは分速 70 m で 70 m、B さんは分速 50 m で 50 m 近づくので、2 人の間は 1 分間に m ちぢまります。2 人の間がちょうど 0 になったときが出会うときなので、出会うまでの時間 ＝ はじめの 2 人の間の道のり ÷ 速さの和 です。
同じ向きに進むとき、前の人が分速 60 m、後ろの人が分速 90 m なら、後ろの人は 1 分間に 90 m 進みますが前の人も 60 m 進むので、2 人の間は 1 分間に m しかちぢまりません。だから、追いつくまでの時間 ＝ はじめの 2 人の間の道のり ÷ 速さの差 です。
池のまわりを回るときは、同じ地点から反対向きに回れば 2 人の進んだ道のりの合計が 1 周分になったときに出会い、同じ向きに回れば、速いほうがおそいほうより 1 周分多く進んだときに追いつきます。つまり、「はじめの 2 人の間の道のり」のかわりに「池 1 周の長さ」を使います。
手順
2 人が向かい合って進むのか（出会い）、同じ向きに進むのか（追いつき）を決める。
2 人が同時に動きはじめるときの「2 人の間の道のり」を求める。一方が先に出発しているときは、その間に進んだ道のりを求める。池の場合は 1 周の長さを使う。
1 分間（1 時間など）に 2 人の間がちぢまる道のりを求める。出会いなら速さの和、追いつきなら速さの差。
2 人の間の道のり ÷ ちぢまる速さ で、出会うまで（追いつくまで）の時間を求める。
地点を求めるときは、どちらか 1 人の 速さ × 時間 で、出発点からの道のりを求める。
例題
弟が家を出て、分速 60 m で駅に向かって歩きはじめました。その 10 分後に、兄が家を出て、同じ道を分速 90 m で追いかけました。兄が家を出てから何分後に弟に追いつきますか。ただし、兄が追いつく前に弟は駅に着かないものとします。
例題の解答
手順 1: 2 人は同じ向きに進むので、追いつきの問題です。
手順 2: 兄が家を出るまでの 10 分間に、弟は m 進んでいます。兄が出発するとき、2 人の間は 600 m です。
手順 3: 2 人の間は、1 分間に速さの差 m ずつちぢまります。
手順 4: 追いつくまでの時間は 分です。
手順 5: このとき兄は m、弟は m 進んでいて、同じ地点にいることが確かめられます。
よって、兄が家を出てから 20 分後に追いつきます。
答え:
よくある誤り
同じ向きに進むのに速さの和を使ってしまう誤り（例: 分）。後ろの人が近づいても前の人も進むので、ちぢまるのは速さの差で、 分。
向かい合って進むのに速さの差を使ってしまう誤り（例: 1200 m はなれた 2 人が分速 70 m と分速 50 m で向かい合うとき 分）。2 人とも近づくので速さの和を使い、 分。
先に出発した人が進んだ道のりを入れ忘れる誤り（例: 兄が出発したとき 2 人の間を 0 m や、弟の分速 60 m のまま考える）。兄が出るまでの 10 分で弟は m 先にいるので、この 600 m を速さの差でわる。
求めた時間を、どの時点からの時間か取りちがえる誤り（例: 弟が家を出てから 20 分後とする）。 分は兄が家を出てからの時間で、弟が家を出てからは 分後。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
まわりの長さが の池があります。A さんと B さんは、池のまわりの同じ地点から同時に出発し、池のまわりの道を反対の向きに歩きます。A さんは分速 、B さんは分速 で歩きます。2 人がはじめて出会うのは、出発してから何分後ですか。
妹は家を出発して、まっすぐな道を分速 60 m で歩いて図書館に向かいました。妹が家を出発してから 10 分後に、姉が家を出発し、同じ道を分速 160 m の自転車で妹を追いかけました。姉が妹に追いつくのは、姉が家を出発してから何分後ですか。ただし、姉が妹に追いつくまでに、妹は図書館に着かないものとします。
P 地点と Q 地点は、まっすぐな道で はなれています。兄は P 地点から Q 地点に向かって分速 で歩き始めました。兄が出発してから 分後に、弟が Q 地点から P 地点に向かって分速 で歩き始めました。2 人が出会うのは、P 地点から何 m のところですか。
まっすぐな道の両はしに P 地点と Q 地点があります。B さんは Q 地点から P 地点に向かって分速 で歩き始めました。その 分後に、A さんが P 地点から Q 地点に向かって分速 で歩き始めました。すると、2 人は P 地点と Q 地点のちょうどまん中の地点で出会いました。
2 人は出会ったあとも、それぞれ同じ速さで同じ向きに歩き続けました。A さんが Q 地点に着いたとき、B さんは P 地点まであと何 m のところにいますか。
まわりの長さが の池があります。池のまわりの道のある地点 S から、兄は分速 、弟は分速 で、同時に同じ向きに歩き始めました。それから 分後に、母が地点 S から兄弟とは反対の向きに分速 で歩き始めました。母が兄と初めて出会ってから、母が弟と初めて出会うまでに何分かかりますか。
A さんは P 地点を出発し、まっすぐな道を分速 で歩き続けました。A さんが出発してから 分後に、B さんが P 地点から分速 の自転車で A さんを追いかけました。ところが、B さんは A さんに追いつく前に自転車がパンクしてしまい、その地点からはすぐに自転車をおして分速 で歩いて追いかけました。その結果、B さんが A さんに追いついたのは、A さんが出発してから 分後でした。B さんの自転車がパンクしたのは、B さんが P 地点を出発してから何分後ですか。
太郎さんと花子さんは、A 地点を同時に出発し、まっすぐな道を通って B 地点に向かいました。太郎さんと花子さんの速さの比は で、2 人ともそれぞれ一定の速さで進みます。太郎さんは B 地点に着くとすぐに同じ速さで同じ道を A 地点に向かって引き返したところ、B 地点から の地点で花子さんと出会いました。A 地点と B 地点の間の道のりは何 ですか。
まっすぐな道の両はしに P 地点と Q 地点があります。A さんと B さんは P 地点から Q 地点に向かって、C さんは Q 地点から P 地点に向かって、3 人同時に出発しました。A さんは分速 80 m、B さんは分速 60 m、C さんは分速 100 m で歩きます。C さんは、A さんと出会ってから 3 分後に B さんと出会いました。P 地点と Q 地点の間の道のりは何 m ですか。