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速さの問題

難易度 4中学入試の標準レベル算数速さ

太郎さんと花子さんは、A 地点を同時に出発し、まっすぐな道を通って B 地点に向かいました。太郎さんと花子さんの速さの比は $7 : 4$ で、2 人ともそれぞれ一定の速さで進みます。太郎さんは B 地点に着くとすぐに同じ速さで同じ道を A 地点に向かって引き返したところ、B 地点から $900 m$ の地点で花子さんと出会いました。A 地点と B 地点の間の道のりは何 $m$ ですか。

この問題で使うもの

速さと比（説明と入口の問題）
旅人算（出会い・追いつき）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（10 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

出会うまでの時間は 2 人で同じです。時間が同じなら、進んだ道のりの比は速さの比と同じになります。

ヒント 2

太郎さんは (AB 間) $+ 900 m$ 、花子さんは (AB 間) $- 900 m$ 進んでいます。2 人の道のりの差と合計を線分図で考えましょう。

ヒント 3

道のりの差は $1800 m$ で、これが比の $7 - 4 = 3$ にあたります。また、2 人の道のりの合計は AB 間の $2$ 倍で、比の $11$ にあたります。

答えと解説

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3300

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解説を読む

2 人は同時に出発して同時に出会っているので、出会うまでにかかった時間は同じです。時間が同じとき、進んだ道のりの比は速さの比と等しくなるので、出会うまでに進んだ道のりの比は
$(太郎さん) : (花子さん) = 7 : 4$
です。

出会った地点は B 地点から $900 m$ 手前なので、
- 太郎さんが進んだ道のりは、(AB 間) $+ 900 m$
- 花子さんが進んだ道のりは、(AB 間) $- 900 m$

です。線分図で考えると、2 人の進んだ道のりの差は
$900 + 900 = 1800 (m)$
です。

また、2 人の進んだ道のりの合計は、AB 間の道のりの $2$ 倍（往復分）です。

比で表すと、差は $7 - 4 = 3$ 、合計は $7 + 4 = 11$ にあたります。比の $3$ が $1800 m$ なので、比の $1$ は
$1800 \div 3 = 600 (m)$

2 人が進んだ道のりの合計は
$600 \times 11 = 6600 (m)$
これが AB 間の $2$ 倍なので、AB 間の道のりは
$6600 \div 2 = 3300 (m)$

確かめ: 太郎さんは $600 \times 7 = 4200 m$ 進み、 $4200 - 3300 = 900 m$ 引き返しています。花子さんは $600 \times 4 = 2400 m$ 進み、B 地点まで $3300 - 2400 = 900 m$ の地点にいます。条件に合います。

答えは $3300 m$ です。

別解

同じ時間に進む道のりの比は速さの比に等しく、太郎さん : 花子さん $= 7 : 4$ です。
出会うまでに、花子さんは A 地点から B 地点の手前 $900$ m の地点まで、太郎さんは A 地点から B 地点まで行って $900$ m 戻った地点まで進んでいます。A、B 間の道のりを 1 とすると、太郎さんは $1 + 900$ m、花子さんは $1 - 900$ m 進んでいます。
この 2 つの差は $900 + 900 = 1800$ m です。
比 $7 : 4$ の差は $7 - 4 = 3$ で、これが $1800$ m にあたるので、比の 1 は $1800 \div 3 = 600$ m。
花子さんが進んだ道のりは $600 \times 4 = 2400$ m、これは A、B 間の道のりより $900$ m 短いので、A、B 間は $2400 + 900 = 3300$ m。
確かめ: 太郎さんは $3300 + 900 = 4200$ m、花子さんは $3300 - 900 = 2400$ m 進んでいて、 $4200 : 2400 = 7 : 4$ になっている。

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