家から駅まで行くのに、分速 m で歩くと、分速 m で自転車に乗って行くときよりも 分多くかかります。家から駅までの道のりは何 m ですか。
速さと比
道のりが同じとき速さの比と時間の比は逆比になること、時間が同じとき速さの比と道のりの比は等しいことを使い、かかった時間の差などから速さや道のりを求められる
前提
- 速さ・時間・道のりの関係 （算数 速さ）
- 比の性質と簡単な比 （算数 割合と比）
この技能までの道筋（8 技能）
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一覧で見る（前提が先）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 速さ・時間・道のりの関係 （算数 速さ）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
- 比の性質と簡単な比 （算数 割合と比）
説明
速さ・時間・道のりの関係を比で考えられるようになります。同じ道のりを進むときは、速さの比と時間の比が逆比（前と後ろが入れかわった比）になり、同じ時間だけ進むときは、速さの比と道のりの比が等しくなります。これを使うと、「分速 60 m で歩くと、分速 80 m で歩くより 5 分多くかかる」のように、時間の差しかわからない問題でも、速さや道のりを求められます。
なぜそうしてよいのか
道のり ＝ 速さ × 時間 です。時間が同じなら、速さが 2 倍になれば道のりも 2 倍になるので、速さの比と道のりの比は等しくなります。たとえば分速 60 m と分速 80 m で同じ 10 分歩けば、道のりは 600 m と 800 m で、 です。
道のりが同じときは、速さが 2 倍なら時間は半分になります。分速 60 m と分速 80 m で同じ 240 m を歩くと、時間は 分と 分で、速さの比 に対して時間の比は です。これを逆比といいます。道のりが同じなら、どんな道のりでも、時間は「道のり ÷ 速さ」なので、速さの比の前と後ろを入れかえた比になります。（3 つ以上の量の逆比は、それぞれの数でわった比 を整数の比になおしても求められます。 に 12 をかけると です。）
時間の比がわかれば、比の数の差 1 こ分と実際の時間の差を対応させて、1 こ分が何分かを求められます。そこから実際の時間がわかり、道のり ＝ 速さ × 時間 で道のりも求められます。
手順
道のりが同じなのか、時間が同じなのかを確かめる。
速さの比をいちばん簡単な整数の比にする。例: 。
道のりが同じなら時間の比は速さの逆比、時間が同じなら道のりの比は速さの比と同じにする。例: 時間の比は 。
比の数の差（または和）と、実際の時間（道のり）の差（または和）を対応させ、1 こ分の大きさを求める。例: 差 こ分が 5 分。
1 こ分に比の数をかけて実際の時間（道のり）を求め、必要なら 道のり ＝ 速さ × 時間 で残りを求める。
例題
家から学校まで、分速 60 m で歩くと、分速 80 m で歩くより 5 分多くかかります。家から学校までの道のりは何 m ですか。
例題の解答
手順 1: どちらも家から学校までなので、道のりが同じです。
手順 2: 速さの比は です。
手順 3: 道のりが同じなので、かかる時間の比は速さの逆比で です。
手順 4: 時間の比の差 こ分が、実際の時間の差 5 分にあたります。1 こ分は 5 分です。
手順 5: 分速 60 m で歩いたときの時間は 4 こ分で 分なので、道のりは m です。
確かめ: 分速 80 m では 分で、 分の差になっています。
よって、道のりは 1200 m です。
答え:
よくある誤り
道のりが同じなのに、時間の比を速さの比と同じ としてしまう誤り。速いほうが時間は短いので、時間の比は逆比の 。
逆比をつくるとき、3 つ以上の速さの比の数をただ逆にならべてしまう誤り（例: 速さの比 の時間の比を とする）。正しくは に 12 をかけて 。2 つのときだけ前と後ろを入れかえればよい。
比の数と時間を取りちがえ、1 こ分を出さずに比の数をそのまま分とする誤り（例: 分速 60 m で 4 分かかるとして m とする）。比の差 1 こ分が 5 分なので、4 こ分は 20 分で、道のりは m。
時間が同じ場面で逆比を使ってしまう誤り（例: 2 人が同じ時間歩いたとき、速さの比 から道のりの比を とする）。時間が同じなら道のりの比は速さの比と同じ 。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
A さんと B さんが同じ道のりを歩きます。A さんと B さんがこの道のりを歩くのにかかる時間の比は です。A さんの歩く速さが分速 のとき、B さんの歩く速さは分速何 m ですか。
姉と妹が、それぞれ一定の速さで同時に歩き始めました。同じ時間歩いたところ、姉は 840 m、妹は 630 m 進みました。姉の歩く速さが分速 80 m のとき、妹の歩く速さは分速何 m ですか。
兄と弟が歩く速さの比は です。 人が同時に家を出て、同じ道を通って駅に向かったところ、兄が駅に着いてから 分後に弟が駅に着きました。兄の歩く速さが分速 のとき、家から駅までの道のりは何 m ですか。
まっすぐな道の両はしに P 地点と Q 地点があります。B さんは Q 地点から P 地点に向かって分速 で歩き始めました。その 分後に、A さんが P 地点から Q 地点に向かって分速 で歩き始めました。すると、2 人は P 地点と Q 地点のちょうどまん中の地点で出会いました。
2 人は出会ったあとも、それぞれ同じ速さで同じ向きに歩き続けました。A さんが Q 地点に着いたとき、B さんは P 地点まであと何 m のところにいますか。
家から図書館までの道のりは です。さくらさんはふだん、家から図書館まで分速 で歩いて行きます。
ある日、さくらさんは家から途中の地点 R までは分速 で歩き、地点 R からはそれまでの 倍の速さで図書館まで走りました。すると、ふだんより 分早く図書館に着きました。
家から地点 R までの道のりは何 m ですか。
まっすぐな線路にそって、まっすぐな道があります。一定の速さで走る列車が、この道を列車と同じ向きに秒速 で歩いている人に後ろから追いついてから、追いこし終わるまでに 秒かかりました。
また、この列車は、この道を列車と反対の向きに秒速 で走ってくる自転車と出会ってから、すれちがい終わるまでに 秒かかりました。
この列車の長さは何 m ですか。ただし、人と自転車の長さは考えないものとします。
太郎さんと花子さんは、A 地点を同時に出発し、まっすぐな道を通って B 地点に向かいました。太郎さんと花子さんの速さの比は で、2 人ともそれぞれ一定の速さで進みます。太郎さんは B 地点に着くとすぐに同じ速さで同じ道を A 地点に向かって引き返したところ、B 地点から の地点で花子さんと出会いました。A 地点と B 地点の間の道のりは何 ですか。
みなとさんは、いつも家から学校まで分速 64 m で歩いて通っています。ある日、家を出るのがいつもより 5 分おそくなったので、いつもの速さの 1.25 倍の速さで同じ道を歩いたところ、いつもより 1 分早く学校に着きました。家から学校までの道のりは何 m ですか。