速さの問題

長針は $60$ 分で $360$ 度回るので、1 分間に $360÷60=6$ 度進みます。
短針は $60$ 分で $30$ 度回るので、1 分間に $30÷60=0.5$ 度進みます。
したがって、長針は短針より 1 分間に
$$6-0.5=5.5(\text{度})$$
ずつ多く進みます。

$7$ 時ちょうどのとき、長針は $12$ の目盛り、短針は $7$ の目盛りを指しています。長針から時計回りに短針まで測ると
$$30\times 7=210(\text{度})$$
なので、小さいほうの角は $360-210=150$ 度です。

ここから長針が短針に近づいていきます。

1 回目：長針が短針に追いつく前に、時計回りに測った長針から短針までの角が $100$ 度になるときです。$210$ 度が $100$ 度になればよいので、長針が短針より $210-100=110$ 度多く進めばよく、
$$110÷5.5=20(\text{分})$$
より $7$ 時 $20$ 分です。

その後、長針は短針に追いつき（重なり）、短針を追いこして、今度は長針が短針より先に進みます。

2 回目：長針が短針を追いこして、短針より $100$ 度先に進んだときです。$7$ 時ちょうどから考えると、長針は短針より $210+100=310$ 度多く進めばよいので、
$$310÷5.5=\frac{310\times 2}{11}=\frac{620}{11}=56\frac{4}{11}(\text{分})$$
です。これは $60$ 分より小さいので、$8$ 時より前です。

よって、2 回目に $100$ 度になるのは $7$ 時 $\frac{620}{11}$ 分（$7$ 時 $56\frac{4}{11}$ 分）です。

7 時ちょうどを基準にします。長針は 1 分間に $6$ 度、短針は 1 分間に $0.5$ 度進むので、長針は短針より 1 分間に $5.5$ 度多く進みます。

7 時ちょうどのとき、短針は長針より $210$ 度先にあります（大きいほうの角。小さいほうの角では $150$ 度）。

7 時から 8 時までの間、長針が短針に追いつくまでは、短針が先に $210$ 度離れた状態から差がせばまり、追いこしたあとは長針が先に進んで差が広がります。

1 回目: 短針が長針より $100$ 度先にあるとき。差が $210-100=110$ 度せばまったときなので、$110÷5.5=20$ (分)。

長針が短針に追いつくのは $210÷5.5=\frac{420}{11}=38\frac{2}{11}$ (分) で、そのあと長針が短針より $100$ 度先に進んだときが 2 回目です。

2 回目: 差が $210+100=310$ 度分変わったときなので、$310÷5.5=\frac{620}{11}=56\frac{4}{11}$ (分)。これは 60 分より小さいので、7 時から 8 時までの間です。

確かめ: $\frac{620}{11}$ 分後、長針は $6\times \frac{620}{11}=\frac{3720}{11}$ 度、短針は $210+0.5\times \frac{620}{11}=210+\frac{310}{11}=\frac{2620}{11}$ 度。差は $\frac{1100}{11}=100$ 度で、180 度以下なので合っています。

よって 2 回目に $100$ 度になるのは 7 時 $\frac{620}{11}$ 分（$56\frac{4}{11}$ 分）です。