速さの問題

針の進む速さ

長針は 60 分で 1 周（360 度）するので、1 分間に $360÷60=6$ (度) 進みます。
短針は 60 分で 30 度（文字盤の 1 目もり分）進むので、1 分間に $30÷60=0.5$ (度) 進みます。

したがって、長針は短針より 1 分間に
$$6-0.5=5.5\text{ (度)}$$
ずつ多く進み、2 つの針の間の角は 1 分間に 5.5 度ずつ変わります。

4 時ちょうどのとき

長針は 12 を、短針は 4 をさしているので、2 つの針の間の角は
$$30\times 4=120\text{ (度)}$$
です（長針が短針の後ろにあります）。

はじめて 90 度になるとき

長針が短針に追いついていくので、間の角は 120 度から小さくなっていきます。はじめて 90 度になるのは、間の角が
$$120-90=30\text{ (度)}$$
小さくなったときです。それにかかる時間は
$$30÷5.5=\frac{30}{\frac{11}{2}}=\frac{60}{11}\text{ (分)}$$

$\frac{60}{11}=5\frac{5}{11}$ なので、4 時 $5\frac{5}{11}$ 分です。

（確かめ）$\frac{60}{11}$ 分で、長針は $6\times \frac{60}{11}=\frac{360}{11}$ (度)、短針は $120+0.5\times \frac{60}{11}=120+\frac{30}{11}=\frac{1350}{11}$ (度) の位置にあり、差は $\frac{990}{11}=90$ (度) です。

答えは $\frac{60}{11}$ 分（$5\frac{5}{11}$ 分）です。

長針は 1 分に $360÷60=6$ 度、短針は 1 分に $30÷60=0.5$ 度進む。長針は短針より 1 分に $6-0.5=5.5$ 度多く進む。
4 時ちょうどは、長針が 12、短針が 4 を指していて、短針が長針より 120 度先にある。
長針が追いつくにつれてすき間は小さくなり、はじめて 90 度になるのは、すき間が $120-90=30$ 度縮んだとき。
$30÷5.5=\frac{60}{11}=5\frac{5}{11}$ 分後。
検算: $\frac{60}{11}$ 分後、長針は $6\times \frac{60}{11}=\frac{360}{11}$ 度、短針は $120+0.5\times \frac{60}{11}=120+\frac{30}{11}$ 度の位置。差は $120+\frac{30}{11}-\frac{360}{11}=120-30=90$ 度で一致する。それ以前は差が 90 度より大きい。