速さの問題

長針は $60$ 分で $360$ 度回るので、$1$ 分間に
$$360÷60=6(\text{度})$$
進みます。短針は $1$ 時間（$60$ 分）で $30$ 度回るので、$1$ 分間に
$$30÷60=0.5(\text{度})$$
進みます。したがって、長針は短針より $1$ 分間に
$$6-0.5=5.5(\text{度})$$
ずつ多く進みます。

$3$ 時ちょうどのとき、長針は $12$ を、短針は $3$ をさしているので、短針は長針より $90$ 度先にあります。

長針と短針が反対の向きをさすのは、長針が短針に追いついたあと、さらに $180$ 度先に進んだときです。つまり、長針が $3$ 時のときより短針に対して
$$90+180=270(\text{度})$$
だけ多く進んだときです。

よって、かかる時間は
$$270÷5.5=2700÷55=\frac{540}{11}(\text{分})$$
です（帯分数では $49\frac{1}{11}$ 分）。これは $60$ 分より短いので、$3$ 時から $4$ 時までの間にあります。

よって、$3$ 時 $\frac{540}{11}$ 分です。

長針は 1 分で $6$ 度、短針は 1 分で $0.5$ 度進みます。
3 時ちょうどのとき、短針は長針より $90$ 度先にあります。
一直線で反対向きになるのは、長針が短針より $180$ 度先に出るときです（長針が短針を追いこして、さらに $180$ 度はなれる）。
そのためには、長針は短針に対して $90+180=270$ 度多く進めばよいです。
1 分に長針は短針より $6-0.5=5.5$（度）多く進むので、$270÷5.5=\frac{540}{11}$（分）。
よって 3 時 $\frac{540}{11}$ 分（約 49.1 分）で、3 時から 4 時の間にある。
検算: $\frac{540}{11}$ 分後、長針は $6\times \frac{540}{11}=\frac{3240}{11}$ 度、短針は $90+\frac{270}{11}=\frac{1260}{11}$ 度。差は $\frac{1980}{11}=180$ 度。