逆算（□ を求める）

計算の順序を逆にたどり、たし算⇔ひき算・かけ算⇔わり算の関係を使って、 $(□ \times \frac{3}{4} - 0.25) \div 1 \frac{2}{5} + \frac{1}{2} = 3$ のような式の □ にあてはまる数を求められる

前提

小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）

この技能までの道筋（4 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）

説明

$(□ \times \frac{3}{4} - 0.25) \div 1 \frac{2}{5} + \frac{1}{2} = 3$ のような式で、□ にあてはまる数を求められるようになります。□ にほどこされた計算を、答えの側から最後の計算→最初の計算の順にさかのぼって元にもどしていく方法で、「逆算」といいます。中学入試の計算問題でよく出るほか、文章題で「ある数」を求めるときにも使います。

なぜそうしてよいのか

□ の入った式は、「□ からスタートして、計算を順に行ったら 3 になった」という道すじを表しています。上の式なら、□ に $\frac{3}{4}$ をかけ、0.25 をひき、 $1 \frac{2}{5}$ でわり、 $\frac{1}{2}$ をたしたら 3 になった、ということです。そこで、ゴールの 3 から道を逆向きにたどり、それぞれの計算を「元にもどす計算」で打ち消していけば、スタートの □ にたどりつきます。

元にもどす計算は、たし算とひき算、かけ算とわり算が組になっています。「ある数に $\frac{1}{2}$ をたしたら 3」なら、ある数は $3 - \frac{1}{2}$ です。「ある数を $1 \frac{2}{5}$ でわったら $2 \frac{1}{2}$ 」なら、ある数は $2 \frac{1}{2} \times 1 \frac{2}{5}$ です。ただし、□ が「ひかれる数」ではなく「ひく数」のところにあるとき（ $10 - □ = 3$ ）は、□ は $10 - 3 = 7$ で、たし算にはなりません。同じように $12 \div □ = 3$ なら □ は $12 \div 3 = 4$ です。 $10 - 7 = 3$ 、 $12 \div 4 = 3$ と、小さな数でたしかめるとわかります。

逆向きにたどるには、まず計算の順番（かっこの中 → かけ算・わり算 → たし算・ひき算）を正しく読み取ることが大切です。最後に行われる計算から順に元にもどします。

手順

小数は分数に、帯分数は仮分数になおす
□ から始めて、どんな順番で計算されているかを書き出す（かっこの中 → かけ算・わり算 → たし算・ひき算）
＝の右にある答えの数から始め、いちばん最後の計算から順に元にもどす。たしてあればひき、ひいてあればたし、かけてあればわり、わってあればかける（例: $□ + 3 = 8$ なら $8 - 3$ 、 $□ - 3 = 8$ なら $8 + 3$ 、 $□ \times 3 = 12$ なら $12 \div 3$ 、 $□ \div 3 = 4$ なら $4 \times 3$ ）
□ がひく数やわる数のところにあるときは、ひかれる数から答えをひき、わられる数を答えでわる（例: $10 - □ = 3$ なら $10 - 3$ 、 $12 \div □ = 3$ なら $12 \div 3$ ）
求めた □ をもとの式に入れて計算し、＝の右の数と同じになるかたしかめる

例題

次の式の □ にあてはまる数を求めなさい。
$(□ \times \frac{2}{3} + 0.5) \div 1 \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{10}$

例題の解答

手順1: $0.5 = \frac{1}{2}$ 、 $1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ 、 $1 \frac{1}{10} = \frac{11}{10}$ です。

手順2: 計算の順番は、□ に $\frac{2}{3}$ をかける → $\frac{1}{2}$ をたす → $\frac{5}{4}$ でわる → $\frac{1}{2}$ をひく、です。

手順3: 最後の計算から元にもどします。
・ $\frac{1}{2}$ をひいて $\frac{11}{10}$ になったので、ひく前は $\frac{11}{10} + \frac{1}{2} = \frac{11}{10} + \frac{5}{10} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
・ $\frac{5}{4}$ でわって $\frac{8}{5}$ になったので、わる前は $\frac{8}{5} \times \frac{5}{4} = 2$
・ $\frac{1}{2}$ をたして 2 になったので、たす前は $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
・ $\frac{2}{3}$ をかけて $\frac{3}{2}$ になったので、□ は $\frac{3}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$

手順4: この式では □ はかけられる数のところにあり、ひく数やわる数のところにはないので、手順4は使いません。

手順5: たしかめ。 $\frac{9}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3}{2}$ 、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$ 、 $2 \div \frac{5}{4} = \frac{8}{5}$ 、 $\frac{8}{5} - \frac{1}{2} = \frac{11}{10}$ で、＝の右の数と同じです。

答えは $2 \frac{1}{4}$ です。

答え: $2 \frac{1}{4}$

よくある誤り

最初の計算から順にもどしてしまう誤り。 $(□ \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2}) \div \frac{5}{4} = \frac{8}{5}$ で、先に $\frac{2}{3}$ でわったりしてはいけません。正しくは最後の計算（ $\div \frac{5}{4}$ ）から順にもどし、 $\frac{8}{5} \times \frac{5}{4} = 2$ 、 $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 、 $\frac{3}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{9}{4}$ です。
□ がひく数のところにあるのに、たし算でもどしてしまう誤り。 $10 - □ = 3$ で □ を $10 + 3 = 13$ としてはいけません。正しくは $10 - 3 = 7$ です（ $10 - 7 = 3$ でたしかめられます）。
□ がわる数のところにあるのに、かけ算でもどしてしまう誤り。 $\frac{3}{4} \div □ = \frac{1}{2}$ で □ を $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ としてはいけません。正しくは $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ です。
かけ算をもどすときに、同じ数をかけてしまう誤り。 $□ \times \frac{2}{3} = \frac{3}{2}$ で □ を $\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = 1$ としてはいけません。かけ算はわり算でもどすので、正しくは $\frac{3}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{9}{4}$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式の □ にあてはまる数を求めなさい。
$□ \times 4 + 6 = 34$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

1 次方程式の解き方（中学数学方程式）