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方程式の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学方程式

$x$ についての 2 次方程式 $(2 x - 1)^{2} = x (x + 4) + 2$ を解き、解をすべて求めなさい。

この問題で使うもの

2 次方程式の解の公式（説明と入口の問題）
乗法公式による展開（説明と入口の問題）
平方根の意味と根号の簡単化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず両辺を展開し、 $a x^{2} + b x + c = 0$ の形に整理しましょう。

ヒント 2

整理すると $3 x^{2} - 8 x - 1 = 0$ になります。因数分解できないので解の公式を使います。

ヒント 3

根号の中は $(- 8)^{2} - 4 \times 3 \times (- 1) = 76$ です。 $76$ を簡単にしてから約分しましょう。

答えと解説

答えを見る

{\frac{4 + 19}{3}, \frac{4 - 19}{3}}

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解説を読む

両辺を展開します。
$4 x^{2} - 4 x + 1 = x^{2} + 4 x + 2$
すべての項を左辺に移項して整理すると
$3 x^{2} - 8 x - 1 = 0$
左辺は整数の範囲で因数分解できないので、解の公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ に $a = 3$ , $b = - 8$ , $c = - 1$ を代入します。
$x = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \times 3 \times ( - 1 )}{2 \times 3} = \frac{8 \pm 64 + 12}{6} = \frac{8 \pm 76}{6}$
$76 = 4 \times 19 = 219$ なので
$x = \frac{8 \pm 2 19}{6} = \frac{4 \pm 19}{3}$

別解

左辺 $= 4 x^{2} - 4 x + 1$ 、右辺 $= x^{2} + 4 x + 2$ 。移項して整理すると $3 x^{2} - 8 x - 1 = 0$ 。
解の公式より $x = \frac{8 \pm 64 + 12}{6} = \frac{8 \pm 76}{6} = \frac{8 \pm 2 19}{6} = \frac{4 \pm 19}{3}$ 。
検算: $x = \frac{4 + 19}{3} \approx 2.7863$ で $3 x^{2} - 8 x - 1 \approx 23.292 - 22.290 - 1 \approx 0$ 。もう一方 $x \approx - 0.1196$ で $0.0429 + 0.9568 - 1 \approx 0$ 。

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