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方程式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学方程式

2 次方程式 $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ を解き、解をすべて求めなさい。

この問題で使うもの

2 次方程式の解の公式（説明と入口の問題）
因数分解による 2 次方程式の解き方（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（19 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$x^{2}$ の係数が $1$ でないので、解の公式を使うと確実に解けます。

ヒント 2

解の公式に $a = 2$ , $b = - 5$ , $c = - 3$ を代入しましょう。

ヒント 3

根号の中は $(- 5)^{2} - 4 \times 2 \times (- 3) = 49$ になります。 $49 = 7$ です。

答えと解説

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{3, - \frac{1}{2}}

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解説を読む

解の公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ に、 $a = 2$ , $b = - 5$ , $c = - 3$ を代入します。
$x = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \times 2 \times ( - 3 )}{2 \times 2} = \frac{5 \pm 25 + 24}{4} = \frac{5 \pm 49}{4} = \frac{5 \pm 7}{4}$
よって
$x = \frac{5 + 7}{4} = 3, x = \frac{5 - 7}{4} = - \frac{1}{2}$

（別解）左辺は $(2 x + 1) (x - 3)$ と因数分解できるので、 $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ より $x = - \frac{1}{2}, 3$ となります。

確かめ: $x = 3$ のとき $18 - 15 - 3 = 0$ 、 $x = - \frac{1}{2}$ のとき $\frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = 0$ 。

別解

左辺を因数分解すると $2 x^{2} - 5 x - 3 = (2 x + 1) (x - 3)$ 。
よって $2 x + 1 = 0$ または $x - 3 = 0$ より $x = - \frac{1}{2}, 3$ 。
検算: $x = 3$ のとき $18 - 15 - 3 = 0$ 。 $x = - \frac{1}{2}$ のとき $2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} - 3 = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3 = 0$ 。

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