平方根の考えを使った 2 次方程式の解き方

$x^{2} = a$ や $(x + p)^{2} = q$ の形の 2 次方程式を、平方根の考えで $x = - p \pm q$ と解ける。根号の中はできるだけ小さい自然数にする

前提

1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）

この技能までの道筋（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）

説明

$x^{2} = 7$ や $(x - 3)^{2} = 12$ のように、「何かの 2 乗 = 数」の形をした 2 次方程式を、平方根を使って解けるようになります。2 乗して $q$ になる数は $q$ の平方根なので、2 乗を外すと 1 次方程式になり、すぐに解が求まります。答えは $x = - p \pm q$ のような形になり、根号の中はできるだけ小さい自然数にします。

なぜそうしてよいのか

$x^{2} = a$ （ $a$ は正の数）は「2 乗すると $a$ になる数 $x$ を求めよ」という意味です。これはちょうど $a$ の平方根の意味そのものなので、 $x = a$ と $x = - a$ の 2 つが答えになります。まとめて $x = \pm a$ と書きます。正の数を 2 乗しても負の数を 2 乗しても正になるので、正の方だけでなく負の方も必ず答えに入ります。なお $a = 0$ なら $x = 0$ だけ、 $a$ が負の数なら 2 乗して負になる数はないので解はありません。

$(x + p)^{2} = q$ も同じ考え方です。かっこの中の $x + p$ を 1 つのかたまり（たとえば $M$ ）とみると、 $M^{2} = q$ なので $M = \pm q$ 、つまり $x + p = \pm q$ です。あとは 1 次方程式として $p$ を移項すれば $x = - p \pm q$ が得られます。

$3 x^{2} = 15$ のように $x^{2}$ に係数がついているときは、先に両辺をその係数でわって $x^{2} = 5$ の形にしてから平方根を考えます。

手順

方程式を「 $x^{2} = a$ 」または「 $(x + p)^{2} = q$ 」の形に整える（ $x^{2}$ や $(x + p)^{2}$ に係数があれば両辺をその係数でわり、数の項は移項する）
右辺が正の数なら、2 乗する前のものは右辺の平方根なので、 $x = \pm a$ または $x + p = \pm q$ とする（右辺が 0 なら $0$ 、負なら解なし）
根号の中をできるだけ小さい自然数に直す（例: $12 = 23$ ）
$(x + p)^{2} = q$ の形なら、 $p$ を移項して $x = - p \pm q$ とし、解を 2 つとも書く

例題

2 次方程式 $(x - 3)^{2} = 12$ の解をすべて求めよ。

例題の解答

手順 1: すでに $(x + p)^{2} = q$ の形（ $p = - 3$ 、 $q = 12$ ）になっている。

手順 2: 右辺 12 は正の数なので、 $x - 3$ は 12 の平方根である。よって $x - 3 = \pm 12$ 。

手順 3: $12 = 2^{2} \times 3$ なので $12 = 23$ 。よって $x - 3 = \pm 23$ 。

手順 4: $- 3$ を移項して $x = 3 \pm 23$ 。つまり $x = 3 + 23$ と $x = 3 - 23$ の 2 つ。

答え: $3 + 23, 3 - 23$

よくある誤り

負の方の解を落とす誤り。 $x^{2} = 25$ から $x = 5$ だけとするのは誤り。 $(- 5)^{2} = 25$ も成り立つので、正しくは $x = \pm 5$
$p$ を移項するときに符号を間違える誤り。 $(x + 2)^{2} = 7$ から $x = 2 \pm 7$ とするのは誤り。正しくは $x + 2 = \pm 7$ より $x = - 2 \pm 7$
係数をわる前に平方根をとる誤り。 $2 x^{2} = 18$ から $x = \pm 18 = \pm 32$ とするのは誤り。正しくは両辺を 2 でわって $x^{2} = 9$ 、 $x = \pm 3$
根号の中を簡単にしないまま答える誤り。 $(x - 1)^{2} = 8$ で $x = 1 \pm 8$ のままにしない。正しくは $8 = 22$ より $x = 1 \pm 22$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
2 次方程式 $(x - 2)^{2} = 12$ を解き、解をすべて求めなさい。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 次方程式の解の公式（中学数学方程式）
表面積・体積から立体の寸法を逆算する（中学数学空間図形）