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表面積・体積から立体の寸法を逆算する

表面積や体積、展開図の中心角などの条件から、円錐・正角錐・球の半径・母線・底面の辺の長さを方程式で求め、別の量（体積など）を求められる

前提

• 角錐・円錐の表面積 （中学数学 空間図形）
• 球の体積と表面積 （中学数学 空間図形）
• 三平方の定理と空間図形 （中学数学 相似と三平方の定理）
• 平方根の考えを使った 2 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
• 乗法公式による展開 （中学数学 数と式）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 求めたい長さ（母線・半径・辺など）を $x$ とおき、わかっている長さと合わせて図形の寸法を書き出す

2. 与えられた条件（表面積・体積・中心角など）を公式で表し、方程式をつくる

3. 両辺を $\pi$ などの共通の数でわって簡単にしてから方程式を解き、$x>0$ に合う解だけを選ぶ

4. 求めた長さを使い、必要なら三平方の定理で高さなどを求めて、体積など問われている量を計算する

例題

よくある誤り

• 表面積の条件で底面積を入れ忘れ、側面積だけで方程式をつくってしまう誤り。上の例で $3\pi x=24\pi$ として $x=8$ としてしまう。正しくは $9\pi +3\pi x=24\pi$ で $x=5$

• 母線の長さをそのまま円錐の高さとして体積を計算してしまう誤り。上の例で $\frac{1}{3}\pi \times 3^2\times 5=15\pi$ としてしまう。正しくは高さは $\sqrt{5^2-3^2}=4$ で、体積は $12\pi$

• 2 次方程式の負の解を答えに残してしまう誤り。表面積 $36\pi$ の球で $4\pi r^2=36\pi$ から $r^2=9$、$r=\pm 3$ としてしまう。正しくは半径は正なので $r=3$ だけ

• 球の体積から半径を求めるとき、$r^3$ を $r^2$ のように扱ってしまう誤り。体積 $36\pi$ の球で $\frac{4}{3}\pi r^3=36\pi$ から $r^3=27$ なのに $r=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ としてしまう。正しくは $3\times 3\times 3=27$ より $r=3$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  中心が $\mathrm{O}$ の球があり、その表面積は $64\pi {\text{cm}}^2$ です。この球の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。円周率は $\pi$ を使って答えなさい。

  $\mathrm{O}$

この技能を使う問題

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  球を、その中心を通る平面で切って $2$ つに分けた一方を半球といいます。ある半球の表面積（球面の部分の面積と、切り口の円の面積の和）が $27\pi {\text{cm}}^2$ です。この半球の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  頂点を $O$ とし、底面の半径が $4\text{cm}$ の円錐があります。この円錐を平面の上に横にたおして置き、頂点 $O$ を中心として、平面の上をすべらないように転がしたところ、円錐はちょうど $3$ 回転して、はじめて元の位置にもどりました。この円錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めなさい。ただし、円周率は $\pi$ とします。

  $\mathrm{O}$$4\text{cm}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  ある円錐の側面の展開図は、中心角が $120^{\circ }$ のおうぎ形です。この円錐の表面積が $36\pi {\text{cm}}^2$ のとき、円錐の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

  $120^{\circ }$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  正方形 $\mathrm{ABCD}$ を底面とする正四角錐 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABCD}$ があります。この正四角錐の高さは $4\text{cm}$、表面積は $96{\text{cm}}^2$ です。この正四角錐の体積は何 ${\text{cm}}^3$ ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{O}$$4\text{cm}$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  底面が $1$ 辺 $8\text{cm}$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ で、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$ である正四角錐 $\mathrm{O}\text{-}\mathrm{ABCD}$ があります。この正四角錐の体積は $128{\text{cm}}^3$ です。

  この正四角錐の表面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{O}$8 cm