球の体積と表面積

半径 $r$ の球の体積 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ と表面積 $S = 4 π r^{2}$ を求められ、半球の体積・表面積（切り口の円をふくむ）も求められる

前提

角すい・円すいの体積（算数立体図形）

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算数中学高校大学大学院

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角すい・円すいの体積（算数立体図形）

説明

半径 $r$ がわかれば、球の体積は $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ 、表面積は $S = 4 π r^{2}$ で求められます。ボールや地球儀の大きさを調べるときや、ドーム型の屋根やおわんの形（半球）の容積や表面の広さを求めるときに使います。半球のときは、球の半分になる部分と、切り口の円をどう扱うかに気をつけます。

なぜそうしてよいのか

体積について：球の体積の公式 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ は、中学校では証明せずに「覚える公式」として使います。ただし、実験で確かめることができます。半径 $r$ の球がちょうど入る円柱（底面の半径 $r$ 、高さ $2 r$ ）を用意し、水をいっぱいに満たしてから球を沈めると、あふれる水の量は円柱の体積のおよそ $\frac{2}{3}$ になり、あとに残る水はおよそ $\frac{1}{3}$ になります（これが正確に $\frac{2}{3}$ であることは、昔アルキメデスが示しました）。円柱の体積は $π r^{2} \times 2 r = 2 π r^{3}$ なので、球の体積は $2 π r^{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3} π r^{3}$ となり、公式と一致します。ちなみに同じ円柱にぴったり入る円すい（底面の半径 $r$ 、高さ $2 r$ ）の体積は $\frac{1}{3} \times π r^{2} \times 2 r = \frac{2}{3} π r^{3}$ なので、円すい：球：円柱 $= 1 : 2 : 3$ と覚えておくと公式を思い出しやすくなります。

表面積について：球の表面をとても細かい小さな面に分け、それぞれの小さな面を底面、球の中心を頂点とする細い角すいを考えると、球はたくさんの角すいの集まりと見なせます。どの角すいも高さはほぼ半径 $r$ なので、体積の合計は $\frac{1}{3} \times (底面積の合計) \times r = \frac{1}{3} \times S \times r$ です。これが球の体積 $\frac{4}{3} π r^{3}$ に等しいので、 $\frac{1}{3} S r = \frac{4}{3} π r^{3}$ の両辺に $\frac{3}{r}$ をかけて $S = 4 π r^{2}$ となります。これは半径 $r$ の円の面積 $π r^{2}$ のちょうど 4 倍です。

半球は球をちょうど半分に切ったものなので、体積は $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{2}{3} π r^{3}$ です。表面積は、曲面の部分が球の表面の半分で $\frac{1}{2} \times 4 π r^{2} = 2 π r^{2}$ 、これに切り口の円 1 枚の面積 $π r^{2}$ を加えて $3 π r^{2}$ になります。

手順

球（または半球）の半径 $r$ を確かめる。直径が与えられたときは 2 でわって半径にする
もとの球の体積 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ 、または表面積 $S = 4 π r^{2}$ に $r$ を代入する
半球のときは：体積は球の体積を 2 でわる（ $\frac{2}{3} π r^{3}$ ）。表面積は曲面 $2 π r^{2}$ に切り口の円 $π r^{2}$ をたす（ $3 π r^{2}$ ）
答えは $π$ を使って表し、単位（体積は cm $^{3}$ 、面積は cm $^{2}$ など）をつける

例題

半径 $6$ cm の半球の体積は何 cm $^{3}$ か。 $π$ を使って求めよ。

例題の解答

手順 1：半径は $r = 6$ cm である。

手順 2：もとの球の体積は $\frac{4}{3} π \times 6^{3} = \frac{4}{3} π \times 216 = 288 π$ （cm $^{3}$ ）。

手順 3：半球なので、体積は球の体積を 2 でわって $288 π \div 2 = 144 π$ （cm $^{3}$ ）。（ $\frac{2}{3} π \times 6^{3} = \frac{2}{3} \times 216 π = 144 π$ と計算しても同じ。）

手順 4： $π$ を使い、単位 cm $^{3}$ をつけて、答えは $144 π$ cm $^{3}$ 。

答え: $144 π$

よくある誤り

直径をそのまま $r$ に代入してしまう誤り。直径 $10$ cm の球の体積を $\frac{4}{3} π \times 1 0^{3}$ としてはいけない。正しくは半径 $5$ cm を使って $\frac{4}{3} π \times 5^{3} = \frac{500}{3} π$ （cm $^{3}$ ）
体積と表面積の公式をとりちがえる、または $r^{3}$ と $r^{2}$ を混同する誤り。半径 $3$ cm の球の表面積を $4 π \times 3^{3} = 108 π$ としてしまう。正しくは $4 π \times 3^{2} = 36 π$ （cm $^{2}$ ）
半球の表面積で切り口の円を忘れる誤り。半径 $4$ cm の半球の表面積を $2 π \times 4^{2} = 32 π$ だけにしてしまう。正しくは切り口の円 $π \times 4^{2} = 16 π$ を加えて $48 π$ （cm $^{2}$ ）
半球の切り口の円を 2 枚たしてしまう誤り。半径 $3$ cm の半球の表面積を $4 π \times 3^{2} \div 2 + π \times 3^{2} \times 2 = 18 π + 18 π = 36 π$ としてしまう。切り口の円は 1 枚だけなので、正しくは $18 π + 9 π = 27 π$ （cm $^{2}$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
中心が O、半径が $3 cm$ の球があります。この球の体積は何 $cm^{3}$ ですか。円周率は $π$ を使って答えなさい。
$O$ $3 cm$

球の体積と表面積

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