立体に外接・内接する球の半径

立方体や直方体の 8 個の頂点がすべて球面上にあるときの球の半径（直方体の対角線の半分、1 辺 $a$ の立方体なら $\frac{3}{2} a$ ）や、円柱・立方体にぴったり入る球の半径を求め、その球の体積や表面積を求められる

前提

球の体積と表面積（中学数学空間図形）
三平方の定理と空間図形（中学数学相似と三平方の定理）

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算数中学高校大学大学院

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説明

直方体や立方体の 8 個の頂点がすべて球面上にあるとき（立体が球にぴったりおさまるとき）、その球の半径は直方体の対角線の長さの半分になります。また、立方体や円柱の中にぴったり入る球の半径は、立方体の 1 辺の半分や円柱の底面の半径になります。半径がわかれば、球の体積 $\frac{4}{3} π r^{3}$ や表面積 $4 π r^{2}$ が求められます。

なぜそうしてよいのか

直方体の向かい合う頂点を結ぶ 4 本の対角線は、すべて同じ長さで、直方体の中心の 1 点で交わり、たがいに真ん中で交わっています。したがって、中心から 8 個の頂点までの距離はすべて対角線の半分で等しくなります。つまり、中心を中心とし、対角線の半分を半径とする球をつくると、8 個の頂点がすべてその球面上にのります。

縦 $a$ 、横 $b$ 、高さ $c$ の直方体の対角線は、三平方の定理を 2 回使って $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ です。よって頂点を通る球の半径は $\frac{1}{2} a^{2} + b^{2} + c^{2}$ です。1 辺 $a$ の立方体なら対角線は $3 a^{2} = 3 a$ なので、半径は $\frac{3}{2} a$ です。

反対に、立方体の中にぴったり入る球は、6 つの面すべてにふれています。向かい合う 2 つの面の間の距離 $a$ が球の直径になるので、半径は $\frac{a}{2}$ です。円柱にぴったり入る球（底面にも上面にも側面にもふれる球）では、球の直径が円柱の底面の直径とも高さとも等しくなるので、半径は円柱の底面の半径と同じで、円柱の高さはその 2 倍になっています。

手順

球が立体の外側で頂点を通るのか（外接）、立体の内側で面にふれるのか（内接）を見きわめる
外接なら、直方体の対角線 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ を三平方の定理で求め、その半分を半径とする（立方体なら $\frac{3}{2} a$ ）
内接なら、球の直径が向かい合う面の間の距離に等しいことから半径を求める（立方体なら $\frac{a}{2}$ 、円柱なら底面の半径）
求めた半径 $r$ を $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ や $S = 4 π r^{2}$ に代入する

例題

縦 $2$ cm、横 $3$ cm、高さ $6$ cm の直方体の 8 個の頂点がすべて 1 つの球の球面上にある。この球の表面積は何 cm $^{2}$ か。 $π$ を使って求めよ。

例題の解答

手順 1：8 個の頂点が球面上にあるので、球は直方体の外側にある外接球で、直径は直方体の対角線である。

手順 2：底面の長方形の対角線の長さを $d$ とすると、三平方の定理より $d^{2} = 2^{2} + 3^{2} = 13$ 。直方体の対角線は、 $d$ と高さ $6$ を直角をはさむ 2 辺とする直角三角形の斜辺なので、 $13 + 6^{2} = 49 = 7$ cm。よって半径は $r = \frac{7}{2}$ cm。

手順 4：表面積は $4 π \times (\frac{7}{2})^{2} = 4 π \times \frac{49}{4} = 49 π$ （cm $^{2}$ ）。

答え： $49 π$ cm $^{2}$

答え: $49 π$

よくある誤り

対角線の長さをそのまま半径にしてしまう誤り。上の例で $r = 7$ として $4 π \times 7^{2} = 196 π$ としてしまう。正しくは対角線は直径なので $r = \frac{7}{2}$ で、 $49 π$
立方体の外接球の半径を、面の対角線の半分 $\frac{2}{2} a$ にしてしまう誤り。1 辺 $2$ の立方体で $r = 2$ としてしまう。正しくは立体の対角線 $3 \times 2$ の半分で $r = 3$
外接球と内接球を取りちがえる誤り。1 辺 $4$ の立方体にぴったり入る球の半径を $\frac{3}{2} \times 4 = 23$ としてしまう。正しくは向かい合う面の間の距離 $4$ が直径なので $r = 2$
直方体の対角線を $a + b + c$ や $a^{2} + b^{2}$ としてしまう誤り。縦 $2$ 、横 $3$ 、高さ $6$ の直方体の対角線を $2^{2} + 3^{2} = 13$ としてしまう。正しくは高さもふくめて $2^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 7$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
1 辺の長さが $4 cm$ の立方体 $ABCD - EFGH$ があります（四角形 $ABCD$ が下の面、四角形 $EFGH$ が上の面で、辺 $AE$ , $BF$ , $CG$ , $DH$ は下の面に垂直です）。この立方体の 8 個の頂点がすべて 1 つの球の球面上にあるとき、この球の半径は何 $cm$ ですか。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ $G$ $H$ $4 cm$

立体に外接・内接する球の半径

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