三平方の定理と空間図形

直方体の対角線、円錐の高さ（母線と半径から）、正四角錐の高さ（側辺と底面の対角線の半分から）を三平方の定理で求め、体積を求められる

前提

三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
角すい・円すいの体積（算数立体図形）

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算数中学高校大学大学院

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三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
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角すい・円すいの体積（算数立体図形）

説明

立体の中に隠れている直角三角形を見つけて三平方の定理を使い、直方体の対角線の長さや、円すい・正四角すいの高さを求められるようになります。高さがわかれば、角すい・円すいの体積（底面積 $\times$ 高さ $\div 3$ ）も計算できます。立体の問題では、高さが直接与えられず、母線や側面の辺の長さだけがわかっている場面がよくあります。

なぜそうしてよいのか

三平方の定理は平面の直角三角形の性質ですが、立体の中でも、ある平面で切ったときに現れる直角三角形に使えます。

円すい: 頂点から底面の中心へ下ろした線が高さ $h$ で、底面と垂直です。高さ・底面の半径 $r$ ・母線 $ℓ$ で直角三角形ができ、 $ℓ$ が斜辺なので $h^{2} + r^{2} = ℓ^{2}$ 。
正四角すい: 頂点から下ろした垂線は、底面の正方形の中心（2本の対角線の交点）に届きます。高さ $h$ ・中心から底面の頂点までの長さ（対角線の半分）・側辺で直角三角形ができ、側辺が斜辺です。1辺 $a$ の正方形の対角線は $a^{2} + a^{2} = 2 a$ なので、その半分は $\frac{2}{2} a$ です。
直方体: たて $a$ ・横 $b$ ・高さ $c$ の直方体の対角線は、まず底面の長方形の対角線 $a^{2} + b^{2}$ を求め、それと高さ $c$ を直角をはさむ2辺とする直角三角形の斜辺として、 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ になります。

どれも、三平方の定理を1回か2回使うだけで、空間の長さが平面の計算に置きかわります。

手順

求めたい長さ（高さや対角線）をふくむ直角三角形を立体の中から見つける（円すいは高さ・半径・母線、正四角すいは高さ・底面の対角線の半分・側辺、直方体は底面の対角線・高さ・立体の対角線）
直角の位置と斜辺を確認する
直角三角形の辺のうち、底面の対角線の半分など先に必要な長さを三平方の定理で求めておく
三平方の定理で高さ（または対角線）を求め、根号の中をできるだけ小さい自然数にする
体積を問われていれば、底面積 $\times$ 高さ $\div 3$ で計算する

例題

底面が1辺 $6 cm$ の正方形で、側辺（頂点と底面の各頂点を結ぶ辺）の長さがすべて $5 cm$ の正四角すいがある。この正四角すいの体積を求めよ。

例題の解答

手順1: 正四角すいの頂点を $O$ 、底面の正方形の中心（対角線の交点）を $H$ 、底面の頂点の1つを $A$ とする。 $O H$ が高さで、三角形 $O A H$ は直角三角形。

手順2: $∠ O H A = 9 0^{\circ}$ で、斜辺は側辺 $O A = 5$ 。

手順3: 底面の対角線は $6^{2} + 6^{2} = 72 = 62$ なので、 $A H = 32$ 。

手順4: $O H^{2} = O A^{2} - A H^{2} = 25 - 18 = 7$ 、 $O H > 0$ なので $O H = 7$ 。

手順5: 体積は $6 \times 6 \times 7 \div 3 = 127 (cm^{3})$ 。

答え: $127$

よくある誤り

正四角すいの高さを、底面の1辺の半分を使って $O H^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$ 、 $O H = 4$ としてしまう誤り。 $4$ は側面の三角形の高さ（頂点から底面の辺の真ん中まで）で、立体の高さは底面の中心から頂点まで。底面の対角線の半分 $32$ を使い、 $O H = 7$ 。
円すいの高さを、母線と半径を足して $h^{2} = ℓ^{2} + r^{2}$ と計算してしまう誤り。正しくは母線が斜辺なので $h^{2} = ℓ^{2} - r^{2}$ （例: 母線 $10$ 、半径 $6$ なら $h = 8$ ）。
すいの体積で $\div 3$ を忘れて $367$ としてしまう誤り。正しくは底面積 $\times$ 高さ $\div 3$ で $127$ 。
直方体の対角線を、3辺の長さを足して $a + b + c$ としたり、2辺だけで $a^{2} + b^{2}$ としてしまう誤り。正しくは三平方の定理を2回使い $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ （例: $3, 4, 12$ なら $169 = 13$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
底面の半径が $3 cm$ 、母線の長さが $5 cm$ の円錐があります。この円錐の体積は何 $cm^{3}$ ですか。ただし、円周率は $π$ とします。
$5 cm$ $3 cm$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

立体に外接・内接する球の半径（中学数学空間図形）
表面積・体積から立体の寸法を逆算する（中学数学空間図形）