相似と三平方の定理の問題

三角すい $CBDG$ の体積を $2$ 通りに表して求めます。

三角すい $CBDG$ の体積

$△BCD$ を底面とすると、$\angle BCD=90^{\circ }$ なので底面積は
$$\frac{1}{2}\times 6\times 6=18({\text{cm}}^2)$$
高さは $CG=6\text{cm}$ なので、体積は
$$\frac{1}{3}\times 18\times 6=36({\text{cm}}^3)$$

$△BDG$ の面積

$BD$, $BG$, $DG$ はどれも $1$ 辺 $6\text{cm}$ の正方形の対角線なので、三平方の定理より
$$B{D}^2=6^2+6^2=72,BD=6\sqrt{2}(\text{cm})$$
となり、$BD=BG=DG=6\sqrt{2}\text{cm}$ です。よって $△BDG$ は正三角形です。

$BD$ の中点を $M$ とすると $GM\perp BD$、$BM=3\sqrt{2}\text{cm}$ なので、$△GBM$ で三平方の定理より
$$G{M}^2=(6\sqrt{2}{)}^2-(3\sqrt{2}{)}^2=72-18=54,GM=3\sqrt{6}(\text{cm})$$
よって
$$△BDG=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{2}\times 3\sqrt{6}=9\sqrt{12}=18\sqrt{3}({\text{cm}}^2)$$

垂線の長さ

求める長さを $h\text{cm}$ とすると、$△BDG$ を底面とみたときの三角すい $CBDG$ の体積は $\frac{1}{3}\times 18\sqrt{3}\times h$ です。これが $36$ に等しいので
$$\frac{1}{3}\times 18\sqrt{3}\times h=36$$
$$6\sqrt{3}h=36$$
$$h=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$
よって、垂線の長さは $2\sqrt{3}\text{cm}$ です。

三角錐 C-BDG を考える。CB、CD、CG は互いに垂直で、どれも $6$ cm。
△CBD を底面とすると高さは CG $=6$ cm なので、体積は $\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 6\times 6\right)\times 6=36$ cm${}^3$。
△BDG は BD $=$ DG $=$ GB $=6\sqrt{2}$ cm の正三角形。1 辺 $6\sqrt{2}$ の正三角形の高さは $6\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}$ なので、面積は $\frac{1}{2}\times 6\sqrt{2}\times 3\sqrt{6}=9\sqrt{12}=18\sqrt{3}$ cm${}^2$。
C から平面 BDG への垂線の長さを $h$ とすると、$\frac{1}{3}\times 18\sqrt{3}\times h=36$ より $6\sqrt{3}h=36$、$h=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$ cm。
検算: 立方体の対角線 CE の長さは $6\sqrt{3}$ で、平面 BDG は C から E に向かう対角線を 3 等分する位置で垂直に交わる（C の側が $\frac{1}{3}$）ので $6\sqrt{3}\times \frac{1}{3}=2\sqrt{3}$。