相似と三平方の定理の問題

頂点 $A$, $D$ から直線 $BC$ に垂線をひき、直線 $BC$ との交点をそれぞれ $H$, $K$ とします。

$AD\parallel BC$ なので、四角形 $AHKD$ は長方形になり、$HK=AD=4\text{cm}$、$AH=DK$ です。

$△ABH$ と $△DCK$ は、$\angle AHB=\angle DKC=90^{\circ }$、斜辺 $AB=DC=5\text{cm}$、$AH=DK$ なので、直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しく、合同です。よって $BH=CK$ です。

次に、$H$, $K$ の位置を確かめます。辺 $BC$ の中点を $M$ とします。$BH=CK$ なので、次の 2 つの場合が考えられます。

• $B$ から $H$ へ向かう向きと、$C$ から $K$ へ向かう向きが同じ場合: $H$ と $K$ は $B$ と $C$ を同じ向きに同じ長さだけずらした点なので、$HK=BC=10\text{cm}$ となり、$HK=4\text{cm}$ に合いません。
• 向きが反対の場合: $H$ と $K$ は $M$ について対称な位置にあるので、$M$ は線分 $HK$ の中点でもあり、$MH=MK=\frac{4}{2}=2\text{cm}$ です。

したがって後の場合になります。$MB=MC=5\text{cm}$ で、$MH=2\text{cm}<5\text{cm}$ なので、$H$ は線分 $BM$ 上、$K$ は線分 $MC$ 上にあり、$B$, $H$, $K$, $C$ はこの順に辺 $BC$ 上に並びます。よって
$$BH=MB-MH=5-2=3(\text{cm})$$
$$HC=MH+MC=2+5=7(\text{cm})$$

$△ABH$ で三平方の定理より
$$A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=5^2-3^2=25-9=16$$
$AH>0$ なので $AH=4\text{cm}$ です。

$△AHC$ は $\angle AHC=90^{\circ }$ の直角三角形なので、三平方の定理より
$$A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2=4^2+7^2=16+49=65$$
$AC>0$ なので $AC=\sqrt{65}\text{cm}$ です。

$AD\parallel BC$ で $AD\ne BC$ より平行四辺形ではなく、$AB=CD$ なので等脚台形である。$A$, $D$ から $BC$ に垂線 $AH$, $DK$ を下ろす。四角形 $AHKD$ は長方形なので $HK=AD=4$。$BH=KC=(10-4)÷2=3\text{cm}$。直角三角形 $ABH$ で三平方の定理より $A{H}^2=5^2-3^2=16$ なので $AH=4\text{cm}$。$HC=BC-BH=10-3=7\text{cm}$。直角三角形 $AHC$ で $A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2=16+49=65$ なので $AC=\sqrt{65}\text{cm}$。検算: 同様に $BD=\sqrt{65}$ で等脚台形の対角線は等しく、トレミーの定理 $AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot CD$ より $65=40+25$ となり一致する。