三平方の定理と平面図形

円の弦の長さ（中心からの距離と半径）、座標平面上の 2 点間の距離、二等辺三角形の高さ、長方形の紙を折り返したときの長さなどを、直角三角形を見つけて三平方の定理で求められる

前提

折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）

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算数中学高校大学大学院

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折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）

説明

平面図形の中に隠れている直角三角形を見つけ、三平方の定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ を使って長さを求められるようになります。円の弦の長さ（半径と中心からの距離から）、座標平面上の2点間の距離、二等辺三角形の高さ、長方形の紙を折り返したときの長さなど、直角がはっきり書かれていない場面でも、補助線で直角三角形をつくれば計算できます。

なぜそうしてよいのか

三平方の定理は直角三角形にしか使えません。そこで、図形の性質から直角ができる場所を探して、直角三角形をつくります。代表的な場面は次のとおりです。

円の弦: 中心 $O$ と弦 $A B$ の両端を結ぶと $O A = O B$ （半径）の二等辺三角形ができます。 $O$ から $A B$ に垂線 $O H$ を引くと、二等辺三角形は $O H$ を折り目として折るとぴったり重なるので、 $A H = B H$ となり、 $H$ は弦の真ん中です。直角三角形 $O A H$ で、 $O A$ （半径）が斜辺、 $O H$ （中心からの距離）と $A H$ （弦の半分）が直角をはさむ辺です。
座標平面の2点 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ : 2点を結ぶ線分を斜辺とし、 $x$ 軸・ $y$ 軸に平行な辺をもつ直角三角形をつくると、直角をはさむ辺の長さは $x$ 座標の差と $y$ 座標の差なので、距離は $(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ です。
二等辺三角形の高さ: 頂点から底辺に垂線を引くと、底辺がちょうど半分に分かれ、2つの直角三角形ができます。
紙の折り返し: 重なる辺が等しいことから、長方形の角（ $9 0^{\circ}$ ）をふくむ直角三角形の辺を $x$ の式で表せます。

手順

求めたい長さを辺にもつ直角三角形を探す。なければ垂線や軸に平行な線などの補助線を引いてつくる
その直角三角形の斜辺（直角の向かい側の辺）を確認する
3辺のうち、わかっている長さと、半分にした長さ・座標の差・ $x$ の式などで表せる長さを書き込む
三平方の定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ に代入して長さ（または方程式）を求め、根号の中をできるだけ小さい自然数にする
弦の半分などを求めた場合は、問われている長さ（2倍するなど）に直して答える

例題

点 $O$ を中心とする半径 $7 cm$ の円に弦 $A B$ があり、中心 $O$ と弦 $A B$ の距離（ $O$ から直線 $A B$ に引いた垂線の長さ）は $3 cm$ である。弦 $A B$ の長さを求めよ。

例題の解答

手順1: $O$ から弦 $A B$ に垂線 $O H$ を引く。 $O A = O B$ なので三角形 $O A B$ は二等辺三角形で、 $H$ は $A B$ の真ん中になる。直角三角形 $O A H$ を使う。

手順2: $∠ O H A = 9 0^{\circ}$ なので斜辺は $O A$ 。

手順3: $O A = 7$ （半径）、 $O H = 3$ 、 $A H$ が求めたい長さの半分。

手順4: $A H^{2} + 3^{2} = 7^{2}$ より $A H^{2} = 49 - 9 = 40$ 、 $A H > 0$ なので $A H = 40 = 210$ 。

手順5: $A B = 2 \times A H = 410 (cm)$ 。

答え: $410$

よくある誤り

直角三角形 $O A H$ で求めた $A H$ をそのまま弦の長さとして $210$ と答えてしまう誤り。正しくは $H$ は弦の真ん中なので $A B = 2 \times 210 = 410$ 。
弦の長さ全体を直角三角形の辺として $A B^{2} + 3^{2} = 7^{2}$ と式を立ててしまう誤り。正しくは直角三角形の辺になるのは弦の半分 $A H$ で、 $A H^{2} + 3^{2} = 7^{2}$ 。
座標平面の距離で、座標の差を2乗する前に符号を無視したり足し合わせたりする誤り（例: $(1, 2)$ と $(4, - 2)$ の距離を $3^{2} + 0^{2}$ とする）。正しくは $y$ 座標の差は $- 2 - 2 = - 4$ で、距離は $3^{2} + (- 4)^{2} = 25 = 5$ 。
二等辺三角形の高さで、底辺を半分にせずに使ってしまう誤り（例: 等しい辺が $5$ 、底辺が $6$ のとき $h^{2} = 5^{2} - 6^{2}$ とする）。正しくは底辺の半分 $3$ を使い、 $h^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$ 、 $h = 4$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
点 $O$ を中心とする半径 $6 cm$ の円に、弦 $AB$ があります。中心 $O$ から弦 $AB$ に垂線をひき、弦 $AB$ との交点を $H$ とすると、 $OH = 4 cm$ でした。弦 $AB$ の長さは何 cm ですか。
$O$ $A$ $B$ $H$ $6 cm$ $4 cm$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
接線の長さ（数学A 図形の性質）
2 つの円の位置関係（数学A 図形の性質）