相似と三平方の定理の問題

円 $O$ の半径を $r\text{cm}$ とする。

円 $O$ は辺 $AB$ と辺 $AD$ に接するので、中心 $O$ から辺 $AB$ までの距離も辺 $AD$ までの距離も $r$ である。

中心 $O$ から辺 $BC$ に垂線 $OH$ をひく。$O$ から辺 $AD$ までの距離が $r$ なので、$OH=9-r$ である。また、$O$ から辺 $AB$ までの距離が $r$ なので、$BH=r$ であり、$HM=BM-BH=6-r$ となる（$r<6$ である）。

円 $O$ と半円（半径 $6$）は外側から接するので、中心どうしの距離は半径の和になり、
$$OM=6+r$$
である。

$△OHM$ は $\angle OHM=90^{\circ }$ の直角三角形なので、三平方の定理より
$$H{M}^2+O{H}^2=O{M}^2$$
$$(6-r{)}^2+(9-r{)}^2=(6+r{)}^2$$
展開すると
$$36-12r+r^2+81-18r+r^2=36+12r+r^2$$
$$r^2-42r+81=0$$
解の公式より
$$r=\frac{42\pm \sqrt{42^2-4\times 81}}{2}=\frac{42\pm \sqrt{1764-324}}{2}=\frac{42\pm \sqrt{1440}}{2}=\frac{42\pm 12\sqrt{10}}{2}=21\pm 6\sqrt{10}$$

$\sqrt{10}$ は $3$ より大きく $3.2$ より小さいので、$21+6\sqrt{10}$ は $39$ より大きく、長方形の内側に入らないので不適。
$21-6\sqrt{10}$ は $21-19.2=1.8$ より大きく $21-18=3$ より小さいので、$0<r<6$ を満たし、中心 $O$ も長方形の内側にあるので適する。

よって、円 $O$ の半径は $21-6\sqrt{10}\text{cm}$ である。

点 $B$ を原点、辺 $BC$ を $x$ 軸、辺 $BA$ を $y$ 軸とする座標をとる。$B(0,0)$、$C(12,0)$、$A(0,9)$、$D(12,9)$、$M(6,0)$ である。半円は中心 $M$、半径 $6\text{cm}$ で、長方形の内側にある上半分である。

円 $O$ の半径を $r\text{cm}$ とする。円 $O$ は辺 $AB$（直線 $x=0$）と辺 $AD$（直線 $y=9$）の両方に接するので、中心 $O$ の座標は $(r,9-r)$ である（$0<r<9$）。

円 $O$ が半円の弧に外側から接するので、中心間の距離は半径の和に等しく、$OM=6+r$ である。三平方の定理より
$(r-6{)}^2+(9-r{)}^2=(6+r{)}^2$
左辺を展開して $2r^2-30r+117$ 、右辺は $r^2+12r+36$ なので
$r^2-42r+81=0$
解の公式より $r=21\pm \sqrt{441-81}=21\pm \sqrt{360}=21\pm 6\sqrt{10}$。

$6\sqrt{10}\fallingdotseq 18.97$ なので、$21+6\sqrt{10}\fallingdotseq 39.97$ は $9$ より大きく長方形に入らない。よって $r=21-6\sqrt{10}\fallingdotseq 2.03$ で、$0<r<9$ を満たす。

確かめ: $r\fallingdotseq 2.026$ のとき $O\fallingdotseq (2.026,6.974)$、$OM=\sqrt{(2.026-6{)}^2+6.974^2}=\sqrt{15.79+48.64}=\sqrt{64.43}\fallingdotseq 8.027$ で、$6+r\fallingdotseq 8.026$ と一致する。接点は $M$ から $O$ の向きに $6$ 進んだ点で $y>0$ なので、半円の弧の上にある。また円 $O$ は $x$ 軸より上（$y$ 座標の最小値 $6.974-2.026>0$）にあり、長方形の内側に収まる。

答え: $21-6\sqrt{10}\text{cm}$