相似と三平方の定理の問題

$BD$ の長さ. $△ABD$ と $△CBA$ において、$\angle BAD=\angle BCA$（仮定）、$\angle ABD=\angle CBA$（共通）なので、2 組の角がそれぞれ等しく $△ABD\sim △CBA$ である。対応する辺の比より
$$AB:CB=BD:BA\text{すなわち}6:9=BD:6$$
よって $BD=\frac{6\times 6}{9}=4(\text{cm})$、$DC=9-4=5(\text{cm})$ である。

$△ADC$ の面積. $△ABD$ と $△ADC$ は、底辺をそれぞれ $BD$, $DC$ とすると高さが共通なので、面積の比は $BD:DC=4:5$ である。よって
$$△ADC=8\times \frac{5}{4}=10({\text{cm}}^2).$$

$AE:EC$. $DE\parallel AB$ なので、$△CDE\sim △CBA$ であり、
$$CE:CA=CD:CB=5:9$$
よって $AE:EC=4:5$ である。

$△ADE$ の面積. $△ADE$ と $△ADC$ は、頂点 $D$ を共有し底辺 $AE$, $AC$ が同じ直線上にあるので、面積の比は $AE:AC=4:9$ である。したがって
$$△ADE=10\times \frac{4}{9}=\frac{40}{9}({\text{cm}}^2).$$

$△BAD$ と $△BCA$ で、$\angle B$ は共通、$\angle BAD=\angle BCA$ より $2$ 組の角が等しいので $△BAD\sim △BCA$。よって $BA:BC=BD:BA$ より $6:9=BD:6$、$BD=4\text{cm}$。したがって $DC=9-4=5\text{cm}$。
$△ABD$ と $△ADC$ は高さが等しいので面積比は底辺の比 $BD:DC=4:5$ に等しい。$△ABD=8$ より $△ADC=8\times \frac{5}{4}=10{\text{cm}}^2$。
$DE\parallel AB$ だから $AE:EC=BD:DC=4:5$、すなわち $AE:AC=4:9$。$△ADE$ と $△ADC$ は頂点 $D$ が共通で底辺が $AE$, $AC$ なので面積比は $4:9$。
よって $△ADE=10\times \frac{4}{9}=\frac{40}{9}{\text{cm}}^2$。
検算: $△ABC=8+10=18$。$△ABC$ と $△DEC$ の相似比は $9:5$ で面積比 $81:25$ なので $△DEC=\frac{18\times 25}{81}=\frac{50}{9}$。$△ADC=△ADE+△DEC=\frac{40}{9}+\frac{50}{9}=10$ となり一致する。