相似と三平方の定理の問題

$BC=3a$ とおくと、$BE=2a$、$EC=a$、$AD=BC=3a$ である。

$△ABE$ の面積

$△ABC$ の面積は平行四辺形の半分で $30{\text{cm}}^2$ である。$△ABE$ と $△ABC$ は、底辺をそれぞれ $BE$, $BC$ とみると高さが等しいので
$$△ABE=30\times \frac{BE}{BC}=30\times \frac{2}{3}=20({\text{cm}}^2)$$

点 $Q$ の位置

$AD\parallel BE$ だから、$△QAD\sim △QEB$ であり
$$AQ:QE=AD:EB=3a:2a=3:2$$
よって $AQ=\frac{3}{5}AE$ である。

点 $P$ の位置

直線 $BF$ と直線 $AD$ の交点を $G$ とする。$△FCB$ と $△FDG$ において、$CF=DF$、$\angle CFB=\angle DFG$（対頂角）、$AG\parallel BC$ より $\angle FCB=\angle FDG$（錯角）なので、$△FCB\equiv △FDG$ である。よって $DG=CB=3a$ で、$AG=AD+DG=6a$ となる。

$AG\parallel BE$ だから、$△PAG\sim △PEB$ であり
$$AP:PE=AG:EB=6a:2a=3:1$$
よって $AP=\frac{3}{4}AE$ である。

$△BPQ$ の面積

$Q$ と $P$ はこの順に線分 $AE$ 上にあり
$$PQ=AP-AQ=\frac{3}{4}AE-\frac{3}{5}AE=\frac{3}{20}AE$$
$△BPQ$ と $△ABE$ は、底辺をそれぞれ $PQ$, $AE$ とみると、頂点 $B$ からの高さが等しいので
$$△BPQ=△ABE\times \frac{PQ}{AE}=20\times \frac{3}{20}=3({\text{cm}}^2)$$

平行四辺形を、$A$ を原点、$AB$ 方向を $x$ 軸、$AD$ 方向を $y$ 軸とみなす斜交座標で $A(0,0)$、$B(1,0)$、$D(0,1)$、$C(1,1)$ とおく（面積比は変わらない）。このとき平行四辺形の面積は単位 $1$ に相当し、実際の $60{\text{cm}}^2$ に対応する。$E=(1,\frac{2}{3})$、$F=(\frac{1}{2},1)$。直線 $AE$ は $(t,\frac{2}{3}t)$、直線 $BF$ は $(1-\frac{s}{2},s)$。交点 $P$: $t=1-\frac{s}{2}$、$\frac{2}{3}t=s$ より $s=\frac{1}{2}$、$t=\frac{3}{4}$、$P(\frac{3}{4},\frac{1}{2})$。対角線 $BD$ は $(1-u,u)$。$Q$: $1-u=t$、$u=\frac{2}{3}t$ より $t=\frac{3}{5}$、$Q(\frac{3}{5},\frac{2}{5})$。$△BPQ$ の面積は、$\overrightarrow{BP}=(-\frac{1}{4},\frac{1}{2})$、$\overrightarrow{BQ}=(-\frac{2}{5},\frac{2}{5})$ から $\frac{1}{2}\left|-\frac{1}{4}\cdot \frac{2}{5}-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{2}{5}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{20}$（平行四辺形の面積を $1$ としたとき）。よって $60\times \frac{1}{20}=3{\text{cm}}^2$。

中学校の方法での確認: $AD\parallel BE$ より $△QBE\sim △QDA$ で相似比 $BE:DA=2:3$、$BQ:QD=2:3$、よって $BQ=\frac{2}{5}BD$。$△ABE$ の面積は $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot$（平行四辺形）$\cdot$ ではなく、底辺 $BE=\frac{2}{3}BC$ で高さが同じなので $△ABE=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times 60=20$。$BP:PF$ は $AB\parallel FC$ をのばして求めると $BP:PF=2:1$ ではなく、座標の $s=\frac{1}{2}$ より $BP=\frac{1}{2}BF$ すなわち $BP:PF=1:1$。したがって $△ABP=\frac{1}{2}△ABF=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 60=15$ ではなく $△ABF=\frac{1}{2}\cdot 60=30$ なので $△ABP=15$。$△ABQ$ は $△ABD=30$ の $BQ:BD=2:5$ 倍で $12$。$△BPQ=△ABP-△ABQ$ ではなく、$△ABP$ は $A,B,P$、$△ABQ$ は $A,B,Q$ で $P$ と $Q$ はどちらも $AE$ 上にあり、$AQ:AP=\frac{3}{5}:\frac{3}{4}=4:5$ なので $△BPQ=△ABP\times \frac{1}{5}=15\times \frac{1}{5}=3$。一致する。答えは $3{\text{cm}}^2$。