この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

相似と三平方の定理の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学数学相似と三平方の定理

平行四辺形 $A B C D$ があり、その面積は $72 cm^{2}$ である。頂点は $A, B, C, D$ の順に並んでいる。辺 $A D$ 上に点 $E$ を $A E : E D = 2 : 1$ となるようにとり、辺 $C D$ の中点を $F$ とする。線分 $B E$ と線分 $A F$ の交点を $G$ とするとき、四角形 $E GF D$ の面積を求めよ。

A

B

C

D

E

F

G

この問題で使うもの

相似と線分の比を使った面積の比（説明と入口の問題）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（説明と入口の問題）
高さが等しい三角形の面積の比（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（18 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

直線 $A F$ を延長して直線 $B C$ との交点 $H$ をつくり、 $A E$ と $B H$ が平行であることを利用して $A G : GF$ を求めよう。

ヒント 2

$△ A F D \equiv △ H F C$ から $C H = A D$ がわかる。すると $△ G A E ∽ △ G H B$ で、相似比は $A E : H B$ になる。

ヒント 3

$A E : H B = 1 : 3$ より $A G : G H = 1 : 3$ 、さらに $A F = F H$ なので $A G : A F = 1 : 2$ となる。 $△ A F D$ の面積は平行四辺形の $\frac{1}{4}$ である。ここから $△ A GE$ の面積を高さが共通な三角形の面積比で求めよう。

答えと解説

答えを見る

12

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

直線 $A F$ と直線 $B C$ の交点を $H$ とする。

$C H$ の長さ
$△ A F D$ と $△ H F C$ において、 $F$ は $C D$ の中点なので $D F = C F$ 。対頂角は等しいので $∠ A F D = ∠ H F C$ 。 $A D ∥ B H$ より錯角が等しいので $∠ A D F = ∠ H C F$ 。
1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので $△ A F D \equiv △ H F C$ である。よって $C H = A D$ 、 $A F = F H$ となる。

したがって $B H = B C + C H = 2 A D$ である。

$A G : GF$ の比
$A E = \frac{2}{3} A D$ であり、 $A E ∥ B H$ だから $△ G A E ∽ △ G H B$ である。相似比は
$A E : H B = \frac{2}{3} A D : 2 A D = 1 : 3$
よって $A G : G H = 1 : 3$ となり、 $A G = \frac{1}{4} A H$ 。また $A F = \frac{1}{2} A H$ なので
$A G : A F = \frac{1}{4} : \frac{1}{2} = 1 : 2$
つまり $G$ は線分 $A F$ の中点である。

面積の計算
$F$ は $C D$ の中点なので、 $△ A F D$ の、底辺を $A D$ としたときの高さは、平行四辺形の高さの $\frac{1}{2}$ である。よって
$△ A F D = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 72 = 18 (cm^{2})$
$△ A G D$ と $△ A F D$ は、底辺をそれぞれ $A G, A F$ とすると高さが共通なので
$△ A G D = 18 \times \frac{1}{2} = 9 (cm^{2})$
$△ A GE$ と $△ A G D$ は、底辺をそれぞれ $A E, A D$ とすると高さが共通なので
$△ A GE = 9 \times \frac{2}{3} = 6 (cm^{2})$
四角形 $E GF D$ は $△ A F D$ から $△ A GE$ を除いた部分なので
$18 - 6 = 12 (cm^{2})$

答え: $12 cm^{2}$

別解

平行四辺形 $A B C D$ の面積を $S = 72$ とする。座標を使わず面積比で解く。まず $A E : E D = 2 : 1$ より $A E = \frac{2}{3} A D$ 。直線 $A F$ と直線 $B C$ の交点を $H$ とする。 $F$ は $C D$ の中点で $△ A F D \equiv △ H F C$ なので $C H = A D$ 、つまり $B H = 2 A D$ 。 $A E ∥ B H$ なので $△ A E G \sim △ H B G$ で相似比は $A E : B H = \frac{2}{3} A D : 2 A D = 1 : 3$ 。よって $A G : G H = 1 : 3$ 、 $A G = \frac{1}{4} A H$ であり、 $A G : GF = 1 : (2 - 1) = 1 : 1$ （ $A F = \frac{1}{2} A H$ より $A G = \frac{1}{4} A H = \frac{1}{2} A F$ ）。 $△ A F D$ は底辺 $A D$ 、高さが平行四辺形の高さの $\frac{1}{2}$ なので面積 $\frac{1}{4} S = 18$ 。 $△ A E G$ は $△ A F D$ と比べて $A E : A D = 2 : 3$ 、 $A G : A F = 1 : 2$ なので面積は $18 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = 6$ 。四角形 $E GF D = △ A F D - △ A E G = 18 - 6 = 12$ 。検算: 座標 $A (0, 0), B (1, 0), D (0, 1), C (1, 1)$ で計算すると $G = (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ 、四角形 $E GF D$ の面積は $\frac{1}{6}$ で、 $72 \times \frac{1}{6} = 12$ 。

相似と三平方の定理の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題