相似と三平方の定理の問題

$B$ が $M$ に重なるように折るので、折り目上の点 $P$, $Q$ について $PB=PM$、$QB=QM$ である。また、$AD=BC=8\text{cm}$ より $AM=MD=4\text{cm}$ である。

$BP$ の長さ

$BP=x\text{cm}$ とおくと、$PM=x$、$AP=6-x$ である。$\angle PAM=90^{\circ }$ だから、$△APM$ で三平方の定理より
$$(6-x{)}^2+4^2=x^2$$
$$36-12x+x^2+16=x^2$$
$$12x=52x=\frac{13}{3}$$
$0<\frac{13}{3}<6$ だから $P$ は辺 $AB$ 上にある。よって $BP=\frac{13}{3}\text{cm}$。

$BQ$ の長さ

$BQ=y\text{cm}$ とおくと、$QM=y$ である。$M$ から辺 $BC$ に垂線 $MH$ をひくと、$ABHM$ は長方形になるので $BH=AM=4$、$MH=AB=6$ である。$QH=y-4$ だから、$△MQH$（$\angle MHQ=90^{\circ }$）で三平方の定理より
$$(y-4{)}^2+6^2=y^2$$
$$y^2-8y+16+36=y^2$$
$$8y=52y=\frac{13}{2}$$
$4<\frac{13}{2}<8$ だから $Q$ は辺 $BC$ 上にある。よって $BQ=\frac{13}{2}\text{cm}$。

$PQ$ の長さ

$\angle PBQ=90^{\circ }$ だから、$△PBQ$ で三平方の定理より
$$P{Q}^2={\left(\frac{13}{3}\right)}^2+{\left(\frac{13}{2}\right)}^2=\frac{169}{9}+\frac{169}{4}=\frac{169\times 4+169\times 9}{36}=\frac{169\times 13}{36}$$
$PQ>0$ より
$$PQ=\frac{13\sqrt{13}}{6}(\text{cm})$$

$B$ を原点、$BC$ を $x$ 軸、$BA$ を $y$ 軸とすると $B(0,0)$、$C(8,0)$、$A(0,6)$、$D(8,6)$、$M(4,6)$。折り目は線分 $BM$ の垂直二等分線である。$BM$ の中点は $(2,3)$、$BM$ の傾きは $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ なので折り目の傾きは $-\frac{2}{3}$。折り目は $y-3=-\frac{2}{3}(x-2)$、すなわち $2x+3y=13$。
$AB$ 上（$x=0$）で $y=\frac{13}{3}$、$P(0,\frac{13}{3})$（$0\le \frac{13}{3}\le 6$）。$BC$ 上（$y=0$）で $x=\frac{13}{2}$、$Q(\frac{13}{2},0)$（$0\le \frac{13}{2}\le 8$）。
$\angle PBQ=90^{\circ }$ なので三平方の定理より $P{Q}^2={\left(\frac{13}{3}\right)}^2+{\left(\frac{13}{2}\right)}^2=169\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{4}\right)=169\times \frac{13}{36}$、$PQ=\frac{13\sqrt{13}}{6}$。
検算: $PB=\frac{13}{3}$、$PM=\sqrt{4^2+(6-\frac{13}{3}{)}^2}=\sqrt{16+\frac{25}{9}}=\sqrt{\frac{169}{9}}=\frac{13}{3}$ で $PB=PM$ となり一致する。答えは $\frac{13\sqrt{13}}{6}\text{cm}$。