相似と三平方の定理の問題

点 $P$ の位置を調べる

線分 $DC$ の中点を $N$ とする。$AD:DC=1:2$ だから、$AD=DN=NC$ である。

$△CBD$ において、$M$ は辺 $CB$ の中点、$N$ は辺 $CD$ の中点だから、中点連結定理より
$$MN\parallel BD$$
である。

次に $△AMN$ において、$D$ は辺 $AN$ の中点（$AD=DN$）であり、$DP\parallel NM$（$P$ は $BD$ 上の点）である。中点を通り底辺に平行な直線は残りの辺の中点を通る（中点連結定理の逆）から、$P$ は辺 $AM$ の中点である。つまり $AP=PM$。

面積を求める

$M$ は $BC$ の中点だから
$$△AMC=\frac{1}{2}△ABC=\frac{1}{2}\times 48=24({\text{cm}}^2)$$

$△AMD$ と $△AMC$ は、底辺をそれぞれ $AD$, $AC$ とみると高さが等しく、$AD:AC=1:3$ だから
$$△AMD=24\times \frac{1}{3}=8({\text{cm}}^2)$$

$△APD$ と $△AMD$ は、底辺をそれぞれ $AP$, $AM$ とみると高さが等しく、$AP:AM=1:2$ だから
$$△APD=8\times \frac{1}{2}=4({\text{cm}}^2)$$

四角形 $PMCD$ は $△AMC$ から $△APD$ を除いた部分だから
$$24-4=20({\text{cm}}^2)$$

$△ABC=48$。$M$ は $BC$ の中点なので $△ABM=△AMC=24$。$AD:DC=1:2$ なので $△BDC=\frac{2}{3}\times 48=32$、$△ABD=16$。
$P$ の位置を求める。$M$ を通り $BD$ に平行な直線が $AC$ と交わる点を $N$ とする。$△CBD$ で $M$ が $BC$ の中点、$MN\parallel BD$ より $N$ は $DC$ の中点で $DN=NC=\frac{1}{3}AC$。したがって $AD=\frac{1}{3}AC$、$DN=\frac{1}{3}AC$ より $D$ は $AN$ の中点。$△AMN$ で $D$ が $AN$ の中点、$PD\parallel MN$ ($P$ は $BD$ 上、$BD\parallel MN$) より $P$ は $AM$ の中点。よって $AP:PM=1:1$。
$△BPM=\frac{1}{2}△ABM=12$。
四角形 $PMCD=△BDC-△BPM=32-12=20{\text{cm}}^2$。
検算: 四角形 $PMCD=△AMC-△APD$。$△APD=\frac{1}{2}△AMD$ ではなく、$AP=\frac{1}{2}AM$、$AD=\frac{1}{3}AC$ なので $△APD=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times △AMC=\frac{1}{6}\times 24=4$。$24-4=20$ で一致する。