三角形 で、、 です。辺 上に点 を、 となるようにとります。線分 の長さは何 cm ですか。
三角形の相似条件と対応する辺の長さ
3 組の辺の比・2 組の辺の比とその間の角・2 組の角がそれぞれ等しいという相似条件から相似な三角形を見つけ、対応する辺の比を使って辺の長さを求められる
前提
- 相似な三角形と長さの比 （算数 平面図形）
- 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
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- 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）
- 相似な三角形と長さの比 （算数 平面図形）
- 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
説明
2つの三角形が相似（形が同じで大きさだけがちがう）であることを、平行線がなくても判断できる3つの条件（相似条件）を使えるようになります。相似な三角形が見つかれば、対応する辺の長さの比が等しいことから、わからない辺の長さを求められます。1つの角を共有する2つの三角形が重なっている図形などで、特によく使います。
なぜそうしてよいのか
相似な2つの三角形では、対応する角がそれぞれ等しく、対応する辺の長さの比がすべて等しくなっています。でも、相似かどうかを確かめるのに、角と辺を全部調べる必要はありません。三角形の形は、次のどれか1つがわかれば決まってしまうからです。
- 3組の辺の比がすべて等しい
- 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- 2組の角がそれぞれ等しい
たとえば「2組の角」の場合、三角形の角の和は なので残りの1組の角も自動的に等しくなります。そこで、小さいほうの三角形を拡大して1辺の長さをそろえると、その辺の両端の角が等しいので2つの三角形はぴったり重なります。つまりもとの2つの三角形は相似です。ほかの2つの条件も、拡大して1辺をそろえると、ぴったり重なることがわかります。
相似を見つけたら、どの頂点がどの頂点に対応するかを、等しい角をもとに正しく決めることが大切です。対応する頂点の順に のように書くと、 という比の式が書きやすくなります。
手順
2つの三角形を見つけ、等しい角（共通の角・対頂角・錯角・同位角・問題で与えられた角）や、辺の比を調べる
3つの相似条件のどれにあてはまるかを確かめ、相似であることを示す
等しい角をもとに対応する頂点を決め、頂点を対応する順に並べて と書く
対応する辺の比の式（例: ）を立て、比の性質（外側の項の積 内側の項の積）を使って長さを求める
例題
三角形 で、、 である。辺 上に点 を、 となるようにとる。線分 の長さを求めよ。
例題の解答
手順1: 三角形 と三角形 を比べる。（共通の角）、（問題の条件）。
手順2: 2組の角がそれぞれ等しいので、この2つの三角形は相似。
手順3: 等しい角どうしを対応させると、 と 、 と 、 と が対応するので、。
手順4: 対応する辺の比より 、つまり 。外側の項の積と内側の項の積が等しいので 、。
答え:
よくある誤り
頂点の対応を見た目の位置で決めてしまい、 として のような比を立てる誤り。正しくは、等しい角どうしを対応させて とし、。
「2組の辺の比と1つの角」なら、その角が辺の間になくても相似としてしまう誤り。正しくは、等しい角は比を考えた2組の辺の「間の角」でなければならない。
対応しない辺どうしで比をつくる誤り（例: のように、片方の三角形の辺ともう片方の三角形の別の位置の辺を並べる）。正しくは、比の式の左右で、同じ三角形の辺を同じ側に置き、対応する辺どうしを並べる: 。
比の計算で から のように、かける項を取り違える誤り。正しくは外側の項の積 内側の項の積より 、。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
の面積は である。辺 上に となる点 をとり、点 を通り辺 に平行な直線と辺 との交点を とする。このとき、四角形 の面積は何 か求めよ。
直線 上に異なる 点 , があります。直線 について同じ側に 点 , を、、、、 となるようにとります。線分 と線分 の交点を とし、点 から直線 に垂線をひき、直線 との交点を とします。このとき、線分 の長さは何 か求めなさい。
底面の半径が 、高さが の円錐の容器の中に、球が 個入っています。この球は、円錐の底面と側面の両方にぴったり接しています（円錐の底面にも、側面にもちょうど接する、この円錐の中に入るいちばん大きい球です）。円錐の内部のうち、球の外側の部分の体積は何 か求めなさい。ただし、円周率は とし、容器の厚さは考えないものとします。
平行四辺形 があり、その面積は である。頂点は の順に並んでいる。辺 上に点 を となるようにとり、辺 の中点を とする。線分 と線分 の交点を とするとき、四角形 の面積を求めよ。
面積が の平行四辺形 がある。辺 上に となる点 をとり、辺 の中点を とする。線分 と線分 の交点を 、線分 と対角線 の交点を とする。このとき、 の面積は何 か求めよ。
、、 の台形 がある。辺 上に となる点 をとり、点 を通り辺 に平行な直線をひく。この直線と対角線 との交点を 、対角線 との交点を とするとき、線分 の長さは何 か求めよ。
、 の がある。辺 上に、 となる点 をとる。また、点 を通り辺 に平行な直線と辺 との交点を とする。 の面積が のとき、 の面積は何 か求めよ。
、、 の台形 があります。対角線 と の交点を とすると、 の面積は でした。点 を通り辺 に平行な直線と、辺 , との交点をそれぞれ , とします。このとき、四角形 の面積は何 か求めなさい。
の面積は の辺 上に となる点 を、辺 上に となる点 をとります。線分 と線分 の交点を とします。 のとき、線分 の長さは何 か求めなさい。
辺の長さが の立方体 があります。正方形 が底面、正方形 が上面で、, , , はどれも底面に垂直な辺です。辺 の中点を 、辺 の中点を とします。この立方体を 点 , , を通る平面で切って つの立体に分けるとき、頂点 を含む方の立体の体積は何 か求めなさい。
円錐を底面に平行な平面で切り、頂点をふくむ方の円錐を取り除いた立体（円錐台）があります。この立体の下の底面の半径は 、上の底面の半径は 、母線の長さ（側面上で、下の底面の円周から上の底面の円周までまっすぐのびた線分の長さ）は です。下の底面の円周上の点 から、側面にそって糸をちょうど 周かけて、ふたたび点 まで張ります。糸の長さがもっとも短くなるとき、その長さは何 か求めなさい。
辺の長さが の正方形 があります。頂点 を通り、対角線 に垂直な直線を とします（直線 は対角線 に平行で、正方形とは点 だけを共有します）。正方形 を、直線 を軸として 回転させてできる立体の体積は何 か求めなさい。ただし、円周率は とします。