空間図形の問題

もとの円錐の母線の長さ

円錐台の母線をのばして、もとの円錐の頂点を $O$ とします。取り除いた円錐の母線の長さを $x\text{cm}$ とすると、取り除いた円錐ともとの円錐は相似で、相似比は底面の半径の比 $2:4=1:2$ なので
$$x:(x+8)=1:2$$
$$2x=x+8,x=8$$
よって、もとの円錐の母線の長さは $8+8=16\text{cm}$ です。

側面の展開図

円錐台の側面を、点 $A$ を通る母線で切り開くと、もとの円錐の側面（半径 $16\text{cm}$ のおうぎ形）から、半径 $8\text{cm}$ のおうぎ形を取り除いた形になります。切り開いたとき、点 $A$ は $A$ と $A^{\prime }$ に分かれます。

大きいおうぎ形の弧の長さは下の底面の円周 $2\pi \times 4=8\pi \text{cm}$ なので、中心角を $a^{\circ }$ とすると
$$2\pi \times 16\times \frac{a}{360}=8\pi ,\frac{a}{360}=\frac{1}{4},a=90$$

最短の長さ

展開図で、糸がもっとも短くなるのは線分 $A{A}^{\prime }$ になるときです。$OA=O{A}^{\prime }=16\text{cm}$、$\angle AO{A}^{\prime }=90^{\circ }$ なので、$△OA{A}^{\prime }$ は直角二等辺三角形で
$$A{A}^{\prime 2}=16^2+16^2=512,A{A}^{\prime }=16\sqrt{2}(\text{cm})$$

なお、$O$ から $A{A}^{\prime }$ にひいた垂線の長さは、直角二等辺三角形の斜辺の半分で $8\sqrt{2}\text{cm}$ です。$8\sqrt{2}>8$ なので、線分 $A{A}^{\prime }$ は取り除いた部分（半径 $8\text{cm}$ のおうぎ形）を通らず、円錐台の側面の上にあります。

よって、糸の長さの最小値は $16\sqrt{2}\text{cm}$ です。

円錐台を、もとの大きい円錐から頂点側の小さい円錐を除いたものと考える。上の底面の半径は下の底面の半径の $\frac{1}{2}$ なので、小さい円錐の母線は大きい円錐の母線の $\frac{1}{2}$。母線の差が $8$ なので、小さい円錐の母線は $8$、大きい円錐の母線は $16$ である。
大きい円錐の側面を展開すると、半径 $16$ のおうぎ形になる。中心角を $x^{\circ }$ とすると、弧の長さが底面の円周 $2\pi \times 4=8\pi$ に等しいので $2\pi \times 16\times \frac{x}{360}=8\pi$ より $x=90$。中心角は $90^{\circ }$。
展開図で、頂点を $O$、$A$ をおうぎ形の一方の半径の端とし、もう一方の半径の端を $A^{\prime }$ とする。$OA=O{A}^{\prime }=16$、$\angle AO{A}^{\prime }=90^{\circ }$。糸は $A$ から $A^{\prime }$ までの線分になり、$A{A}^{\prime }=16\sqrt{2}$（直角二等辺三角形）。
この線分が円錐台の部分（$O$ からの距離が $8$ 以上 $16$ 以下）を通るか確かめる。$O$ から線分 $A{A}^{\prime }$ までの距離は、$A{A}^{\prime }$ の中点までの距離 $\frac{16\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}$ で、$8\sqrt{2}>8$ なので、線分は小さい円錐の部分（半径 $8$ の円の内側）に入らず、すべて円錐台の側面上にある。
よって糸の長さの最小値は $16\sqrt{2}\text{cm}$。
検算: $(16\sqrt{2}{)}^2=512=16^2+16^2$ で一致する。