空間図形の問題

頂点を $O$ とし、底面の半径が $2\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。底面の円周上の点を $A$ とし、母線 $OA$ の中点を $M$ とします。点 $A$ から円錐の側面にそって $1$ 周するように糸をかけ、点 $M$ まで張ります。糸の長さがもっとも短くなるとき、その長さは何 $\text{cm}$ か求めなさい。

正三角柱 $\mathrm{ABC}\text{-}\mathrm{DEF}$ があります。底面は $1$ 辺の長さが $3\text{cm}$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ と $\mathrm{DEF}$ で、頂点 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ はそれぞれ頂点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ の真上にあります。辺 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ は底面に垂直で、長さはどれも $12\text{cm}$ です。

頂点 $\mathrm{A}$ から、側面にそって辺 $\mathrm{BE}$、辺 $\mathrm{CF}$ をこの順に通り、頂点 $\mathrm{D}$ まで糸をかけます。糸の長さが最も短くなるとき、その長さは何 $\text{cm}$ ですか。

底面の半径が $2\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。底面の円周上に点 $\mathrm{A}$ をとります。点 $\mathrm{A}$ から円錐の側面にそって糸を $1$ 周巻きつけ、再び点 $\mathrm{A}$ まで戻します。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さは何 $\text{cm}$ ですか。

$AB=6\text{cm}$、$AD=4\text{cm}$、$AE=10\text{cm}$ の直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ があります。長方形 $ABCD$ が底面、長方形 $EFGH$ が上面で、$AE$, $BF$, $CG$, $DH$ はどれも底面に垂直な辺です。辺 $BF$ 上に $BP=3\text{cm}$ となる点 $P$、辺 $DH$ 上に $DQ=5\text{cm}$ となる点 $Q$ をとります。$3$ 点 $A$, $P$, $Q$ を通る平面と辺 $CG$ との交点を $R$ とします。この直方体を平面 $APQ$ で切って $2$ つの立体に分けるとき、頂点 $B$ を含む方の立体の体積は何 ${\text{cm}}^3$ か求めなさい。

頂点が $\mathrm{O}$、底面の半径が $2\text{cm}$、母線の長さが $8\text{cm}$ の円錐があります。底面の円周上の点 $\mathrm{A}$ から、円錐の側面にそって糸を 1 周巻きつけて、もとの点 $\mathrm{A}$ までもどします。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さは何 $\text{cm}$ ですか。