技能一覧 › 中学数学 相似と三平方の定理

立体の表面上の最短経路

立体の表面にかけた糸の長さが最も短くなるときを、展開図上の線分として考え、三平方の定理で長さを求められる

前提

• 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
• 直方体・立方体の表面積 （算数 立体図形）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 糸がどの面を、どの辺を横切って通るかを確かめる（決められていなければ、考えられる通り方をすべて挙げる）

2. 糸が通る面だけを、横切る辺でつないで展開図にかき、始点と終点の位置をかきこむ

3. 展開図の上で始点と終点を線分で結ぶ。これが最短の糸の道すじになる

4. 線分を斜辺とする直角三角形を見つけ、たてと横の長さを求めて三平方の定理で長さを計算する（通り方が何通りかあるときは、くらべていちばん短いものを選ぶ）

例題

よくある誤り

• 立体の中を通る対角線の長さを答えてしまう誤り（例題で $\sqrt{4^2+3^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ とする）。糸は表面にかけるので、正しくは展開図で $\sqrt{7^2+5^2}=\sqrt{74}$

• 面ごとに別々に線を引いてたしてしまう誤り（例題で $\sqrt{4^2+5^2}+3=\sqrt{41}+3$ とする）。2 面をつないだ展開図の上でまっすぐな 1 本の線分にしたときがいちばん短いので、正しくは $\sqrt{74}$

• 展開図の 2 点の位置をまちがえ、横の長さを 1 つの面の分しかとらない誤り（例題で $\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$ とする）。糸は 2 つの面を通るので、横の長さは $4+3=7$ で、正しくは $\sqrt{74}$

• 通る面が決められていないのに、1 通りの展開図だけで答えてしまう誤り。例題の直方体で A から G まで表面を通るなら、面 ABFE と面 BCGF を辺 BF でつなぐと たて 5 cm、横 7 cm で $\sqrt{74}$、上の面 ABCD と面 BCGF を辺 BC でつなぐと たて $4+5=9$ cm、横 3 cm で $\sqrt{90}$、上の面 ABCD と面 CDHG を辺 CD でつなぐと たて $3+5=8$ cm、横 4 cm で $\sqrt{80}$、面 ABFE と下の面 EFGH を辺 EF でつなぐと たて $5+3=8$ cm、横 4 cm で $\sqrt{80}$ などとなる。正しくは、これらをくらべて最も短い $\sqrt{74}$ を答える

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $\mathrm{AB}=5\text{cm}$、$\mathrm{BC}=3\text{cm}$、$\mathrm{AE}=6\text{cm}$ の直方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ があります（四角形 $\mathrm{ABCD}$ が下の面、四角形 $\mathrm{EFGH}$ が上の面で、$\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$ はそれぞれ $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ の真上にあります）。

  頂点 $\mathrm{A}$ から、面 $\mathrm{ABFE}$ と面 $\mathrm{BCGF}$ の上を通り、辺 $\mathrm{BF}$ 上の 1 点を通って頂点 $\mathrm{G}$ まで糸をかけます。糸の長さが最も短くなるときの、糸の長さは何 cm ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$$\mathrm{G}$$\mathrm{H}$$5\text{cm}$$3\text{cm}$$6\text{cm}$

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  正三角柱 $\mathrm{ABC}\text{-}\mathrm{DEF}$ があります。底面は $1$ 辺の長さが $3\text{cm}$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ と $\mathrm{DEF}$ で、頂点 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$ はそれぞれ頂点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ の真上にあります。辺 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$, $\mathrm{CF}$ は底面に垂直で、長さはどれも $12\text{cm}$ です。

  頂点 $\mathrm{A}$ から、側面にそって辺 $\mathrm{BE}$、辺 $\mathrm{CF}$ をこの順に通り、頂点 $\mathrm{D}$ まで糸をかけます。糸の長さが最も短くなるとき、その長さは何 $\text{cm}$ ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$$3\text{cm}$$12\text{cm}$

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ があり、底面は長方形 $ABCD$、上面は長方形 $EFGH$ で、$AE$, $BF$, $CG$, $DH$ はいずれも底面に垂直な辺である。$AB=6\text{cm}$、$BC=4\text{cm}$、$AE=3\text{cm}$ とする。

  辺 $BF$ 上に点 $P$ をとり、頂点 $A$ から点 $P$ を通って頂点 $G$ まで、直方体の表面（面 $ABFE$ と面 $BCGF$）に沿って糸をかける。糸の長さ $AP+PG$ がもっとも短くなるとき、その長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$$\mathrm{G}$$\mathrm{H}$$\mathrm{P}$6 cm4 cm3 cm

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  直方体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ があり、長方形 $\mathrm{ABCD}$ が底面、$\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$, $\mathrm{CG}$, $\mathrm{DH}$ が底面に垂直な辺です。$\mathrm{AB}=5\text{cm}$、$\mathrm{BC}=3\text{cm}$、$\mathrm{AE}=6\text{cm}$ とします。頂点 $\mathrm{A}$ から、面 $\mathrm{ABFE}$ と面 $\mathrm{BCGF}$ の上を通り、辺 $\mathrm{BF}$ 上の点 $\mathrm{P}$ を通って頂点 $\mathrm{G}$ まで糸をかけます。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さ $\mathrm{AP}+\mathrm{PG}$ は何 $\text{cm}$ ですか。

  $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$\mathrm{C}$$\mathrm{D}$$\mathrm{E}$$\mathrm{F}$$\mathrm{G}$$\mathrm{H}$$\mathrm{P}$$5\text{cm}$$3\text{cm}$$6\text{cm}$

この技能の次に学べること

• 円錐の側面にそった最短経路 （中学数学 空間図形）