相似と三平方の定理の問題

三角形 $\mathrm{ABC}$ で、辺 $\mathrm{AB}$ 上に点 $\mathrm{D}$、辺 $\mathrm{AC}$ 上に点 $\mathrm{E}$ を、$\mathrm{DE}\parallel \mathrm{BC}$ となるようにとります。$\mathrm{AD}=6\text{cm}$、$\mathrm{DB}=4\text{cm}$、$\mathrm{AE}=9\text{cm}$ のとき、線分 $\mathrm{EC}$ の長さは何 cm ですか。

1 辺の長さが $6\text{cm}$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ があります。頂点 $\mathrm{A}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線をひき、辺 $\mathrm{BC}$ との交点を $\mathrm{H}$ とします。線分 $\mathrm{AH}$ の長さは何 cm ですか。

三角形 $\mathrm{ABC}$ で、$\mathrm{AB}=9\text{cm}$、$\mathrm{AC}=6\text{cm}$ です。辺 $\mathrm{AB}$ 上に点 $\mathrm{D}$ を、$\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ABC}$ となるようにとります。線分 $\mathrm{AD}$ の長さは何 cm ですか。

直方体 $ABCD\text{-}EFGH$ があり、底面は長方形 $ABCD$、上面は長方形 $EFGH$ で、$AE$, $BF$, $CG$, $DH$ はいずれも底面に垂直な辺である。$AB=6\text{cm}$、$BC=4\text{cm}$、$AE=3\text{cm}$ とする。

辺 $BF$ 上に点 $P$ をとり、頂点 $A$ から点 $P$ を通って頂点 $G$ まで、直方体の表面（面 $ABFE$ と面 $BCGF$）に沿って糸をかける。糸の長さ $AP+PG$ がもっとも短くなるとき、その長さは何 $\text{cm}$ か求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ で、$\mathrm{BC}=14\text{cm}$ です。辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$、辺 $\mathrm{AC}$ の中点を $\mathrm{N}$ とします。線分 $\mathrm{MN}$ の長さは何 cm ですか。