の直角三角形 で、、 です。斜辺 の長さは何 cm ですか。
三平方の定理
直角三角形で を使い、2 辺の長さから残りの辺の長さを根号を含む形で求められる
前提
- 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
- 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）
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一覧で見る（前提が先）
- 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
- 三角形・四角形の面積 （算数 平面図形）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 素因数分解と約数の個数 （算数 整数の性質）
- 平方根の意味と根号の簡単化 （中学数学 数と式）
説明
直角三角形では、直角をはさむ2辺の長さを 、、直角の向かい側の辺（斜辺）の長さを とすると、 が成り立ちます。これを三平方の定理といいます。この関係を使うと、直角三角形の2辺の長さから、残りの1辺の長さを求められます。答えはしばしば根号を含む形になり、図形の長さを求めるほとんどの問題の土台になります。
なぜそうしてよいのか
直角をはさむ辺が 、、斜辺が の直角三角形を4つ用意し、1辺が の正方形の中に、各辺の上で と に分かれるように並べます。すると真ん中に、4辺がすべて の四角形ができます。直角三角形の直角以外の2つの角の和は なので、真ん中の四角形の角は となり、これは1辺 の正方形です。このとき大きな正方形の面積は
一方、同じ大きさの正方形（1辺 ）は、各辺を と に分ける線を引くと、1辺 の正方形、1辺 の正方形、縦 ・横 の長方形2つに分けられます。その面積は
2つは同じ正方形の面積なので 、両方から をひくと が得られます。
手順
直角の位置を確認し、直角の向かい側の辺を斜辺 、直角をはさむ2辺を 、 とする
わかっている2辺と求めたい辺を にあてはめる
求めたい辺の2乗を計算する（斜辺なら 、斜辺以外なら ）
長さは正なので、2乗した値の正の平方根をとり、根号の中をできるだけ小さい自然数にした形に直す
例題
の直角三角形 で、、 である。辺 の長さを求めよ。
例題の解答
手順1: なので、斜辺は の向かい側の 。直角をはさむ2辺は と 。
手順2: より 。
手順3: 。
手順4: なので 。
答え:
よくある誤り
斜辺を取り違え、いつも「求めたい辺 斜辺」として 、 としてしまう誤り。正しくは斜辺は直角の向かい側の で、。
2乗せずに長さのまま足し引きして としてしまう誤り。正しくは2乗どうしで計算し、、。
最後に平方根をとり忘れ、 と答えてしまう誤り。正しくは なので 。
根号の簡単化で や で止めてしまう誤り。正しくは で、 と根号の中をいちばん小さくする。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
底面の半径が 、母線の長さが の円錐があります。底面の円周上に点 をとります。点 から円錐の側面にそって糸を 周巻きつけ、再び点 まで戻します。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さは何 ですか。
正三角柱 があります。底面は 辺の長さが の正三角形 と で、頂点 , , はそれぞれ頂点 , , の真上にあります。辺 , , は底面に垂直で、長さはどれも です。
頂点 から、側面にそって辺 、辺 をこの順に通り、頂点 まで糸をかけます。糸の長さが最も短くなるとき、その長さは何 ですか。
高さは縮めてあります ひし形 があり、対角線の長さは 、 である。頂点 から辺 に垂線をひき、辺 との交点を とする。
線分 の長さは何 か求めなさい。
12 cm16 cmの台形 で、、、 です。このとき、対角線 の長さは何 か求めなさい。
中心が 、半径が の球があります。この球を、中心 からの距離が である平面で切りました。このとき、切り口の円の面積は何 か求めなさい。ただし、円周率は とします。
底面が 辺 の正方形 で、側面の辺 の長さがすべて である正四角錐 がある。この正四角錐の体積を求めよ。
8 cm8 cm9 cm直方体 があり、底面は長方形 、上面は長方形 で、, , , はいずれも底面に垂直な辺である。、、 とする。
辺 上に点 をとり、頂点 から点 を通って頂点 まで、直方体の表面（面 と面 ）に沿って糸をかける。糸の長さ がもっとも短くなるとき、その長さは何 か求めよ。
6 cm4 cm3 cm、 の長方形 の紙がある。頂点 が頂点 に重なるようにこの紙を折ったところ、折り目の線分の両端は、辺 上の点 と辺 上の点 になった。
折り目の線分 の長さは何 cm か求めよ。
6 cm8 cm破線は折ったあとの紙の位置 の直角三角形 において、、 である。 の二等分線と辺 の交点を とする。線分 の長さは何 cm か求めよ。
、、 の直角三角形 があります。この三角形を、斜辺 を軸として 回転させてできる立体の体積は何 ですか。
直方体 があり、長方形 が底面、, , , が底面に垂直な辺です。、、 とします。頂点 から、面 と面 の上を通り、辺 上の点 を通って頂点 まで糸をかけます。糸の長さがもっとも短くなるときの糸の長さ は何 ですか。
、、 の がある。頂点 から辺 にひいた垂線の長さは何 か求めよ。
、、 の直角三角形 がある。この三角形を、点 を中心として反時計回りに 回転させ、点 , が移った点をそれぞれ , とする。
この回転で、辺 が通過する部分の面積は何 か求めなさい。
8 cm6 cmは回転後の三角形 辺の長さが の立方体 があります。底面は正方形 、上面は正方形 で、, , , はどれも底面に垂直な辺です。 点 , , を通る平面に、頂点 から垂線をひくとき、その垂線の長さ（頂点 と平面 との距離）は何 か求めなさい。
頂点を とし、底面の半径が 、母線の長さが の円錐があります。底面の円周上の点を とし、母線 の中点を とします。点 から円錐の側面にそって 周するように糸をかけ、点 まで張ります。糸の長さがもっとも短くなるとき、その長さは何 か求めなさい。
平行四辺形 があり、、、 は鋭角で、 直線 と の距離は です。頂点は の順に並んでいます。この平行四辺形を、直線 を軸として 回転させてできる立体の体積は何 か求めなさい。ただし、円周率は とします。
直線 を軸として 回転させる 底面の半径が 、高さが の円柱があります。この円柱から、円柱の上の底面を底面とし、下の底面の中心を頂点とする円錐をくりぬきました。残った立体の表面積は何 か求めなさい。ただし、円周率は とします。
四角形 は、、 で、直線 と直線 が垂直である凸四角形である。辺 の中点を 、辺 の中点を とするとき、線分 の長さは何 cm か。
6 cm10 cm1 辺の長さが の正方形 がある。頂点 を中心とし半径 の円の弧のうち、正方形の内部を通って と を結ぶもの（弧 ）と、頂点 を中心とし半径 の円の弧のうち、正方形の内部を通って と を結ぶもの（弧 ）をかく。2 つの弧の交点を とする。
辺 、弧 のうち から までの部分、弧 のうち から までの部分の 3 つで囲まれた図形の面積は何 か求めよ。ただし、円周率は とする。
6 cm1 辺の長さが の正方形 がある。辺 の中点を とし、辺 上に となる点 をとる。線分 と線分 の交点を とする。
線分 の長さは何 cm か求めよ。
の台形 において、、、、 である。対角線 と の交点を とするとき、線分 の長さは何 か求めよ。
辺の長さが の立方体があります。この立方体の 個の頂点がすべて球面上にある球の体積は何 ですか。
、、 の があります。 の つの頂点を通る円（外接円）の中心を とします。この円の半径は何 か求めなさい。
辺の長さが の正方形 があります。頂点 を通り、対角線 に垂直な直線を とします（直線 は対角線 に平行で、正方形とは点 だけを共有します）。正方形 を、直線 を軸として 回転させてできる立体の体積は何 か求めなさい。ただし、円周率は とします。
この技能の次に学べること
- 折り返した図形の角と長さ （中学数学 平面図形）
- 特別な直角三角形の辺の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 三平方の定理と空間図形 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 立体の表面上の最短経路 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 中点連結定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 回転体の体積 （中学数学 空間図形）