相似と三平方の定理の問題

対角線 $BD$ の中点を $P$ とし、$M$ と $P$、$P$ と $N$ をそれぞれ結ぶ。

$△DAB$ において、$M$ は辺 $DA$ の中点、$P$ は辺 $DB$ の中点だから、中点連結定理より
$$MP\parallel AB,MP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times 6=3$$

$△BDC$ において、$P$ は辺 $BD$ の中点、$N$ は辺 $BC$ の中点だから、中点連結定理より
$$PN\parallel DC,PN=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}\times 10=5$$

直線 $AB$ と直線 $CD$ は垂直であり、$MP\parallel AB$、$PN\parallel DC$ だから、$MP\perp PN$ である。つまり $△MPN$ は $\angle MPN=90^{\circ }$ の直角三角形である。

よって三平方の定理より
$$M{N}^2=M{P}^2+P{N}^2=3^2+5^2=9+25=34$$
$MN>0$ だから $MN=\sqrt{34}$ cm である。

対角線 $BD$ の中点を $P$ とする。

$△ABD$ において、$M$ は $AD$ の中点、$P$ は $BD$ の中点なので、中点連結定理より $MP\parallel AB$、$MP=\frac{1}{2}AB=3\text{cm}$。

$△BCD$ において、$P$ は $BD$ の中点、$N$ は $BC$ の中点なので、中点連結定理より $PN\parallel DC$、$PN=\frac{1}{2}CD=5\text{cm}$。

$AB\perp CD$ より $MP\perp PN$ なので $\angle MPN=90^{\circ }$。よって $△MPN$ は直角三角形で、三平方の定理より
$M{N}^2=3^2+5^2=34$、$MN=\sqrt{34}$ cm。

確かめ: 座標で $A(0,0)$、$B(6,0)$、$D(p,q)$、$C(p+0,...)$ ではなく、$AB$ を $x$ 軸方向、$CD$ を $y$ 軸方向にとり、$A(0,0)$、$B(6,0)$、$D(a,b)$、$C(a,b+10)$ とすると $M(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$、$N(\frac{6+a}{2},\frac{b+10}{2})$ で $M{N}^2=3^2+5^2=34$。一致する。