三角形 で、 です。辺 の中点を 、辺 の中点を とします。線分 の長さは何 cm ですか。
中点連結定理
三角形の 2 辺の中点を結ぶ線分は残りの辺に平行で長さが半分であることを使い、四角形の辺や対角線の中点を結ぶ線分の長さや位置関係を求められる
前提
- 平行線と線分の比 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 三平方の定理 （中学数学 相似と三平方の定理）
- 平行四辺形と特別な四角形の性質 （中学数学 平面図形）
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説明
三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその辺の半分になります。これを中点連結定理といいます。この定理を使うと、三角形や四角形で辺や対角線の中点を結んだ線分の長さや、どの線分と平行かを求められるようになります。四角形の4辺の中点を結んでできる四角形の問題がよく出ます。
なぜそうしてよいのか
三角形 で、辺 の中点を 、辺 の中点を とします。三角形 と三角形 を比べると、
で、その間の角 は共通です。2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、（相似比 ）です。
したがって対応する辺の比から 、つまり 。また対応する角から で、これは直線 に対する同位角が等しいということなので、 です。
四角形の問題では、対角線を1本引くと四角形が2つの三角形に分かれます。それぞれの三角形で中点連結定理を使えば、中点を結んだ線分を対角線の半分として表すことができます。
手順
中点がどの辺（または対角線）の中点かを確認する
2つの中点を2辺にもつ三角形を見つける。四角形なら対角線を引いて三角形に分ける
中点連結定理を使い、中点を結ぶ線分が残りの辺に平行で、長さがその半分であることを書く
必要な線分の長さを足し合わせたり、平行の関係から四角形の種類（平行四辺形など）を判断したりして答える
例題
四角形 があり、対角線の長さは 、 である。辺 、、、 の中点をそれぞれ 、、、 とするとき、四角形 のまわりの長さを求めよ。
例題の解答
手順1: 、、、 はそれぞれ辺 、、、 の中点。
手順2: 対角線 で三角形 と三角形 に分ける。また対角線 で三角形 と三角形 に分ける。
手順3: 三角形 で 、 は 、 の中点なので 。三角形 で 、 は 、 の中点なので 。三角形 で 。三角形 で 。
手順4: まわりの長さは 。（ と はどちらも に平行なので、四角形 は平行四辺形でもある。）
答え:
よくある誤り
中点を結ぶ線分が、となりの辺（中点のある辺）に平行で半分だとしてしまう誤り（例: 三角形 で ）。正しくは、平行で半分になるのは中点のない残りの辺で、、。
半分にせず、中点を結ぶ線分を残りの辺と同じ長さにして、まわりの長さを としてしまう誤り。正しくは各線分は対角線の半分で、まわりの長さは 。
四角形の辺の中点を結ぶ線分を、四角形の辺の長さから求めようとする誤り。四角形 の辺は、もとの四角形の辺ではなく対角線 、 の半分になる。
中点ではない点（たとえば の点）にも中点連結定理を使ってしまう誤り。正しくは、中点連結定理は2点がどちらも中点のときだけ使える。そうでないときは平行線と線分の比を使う。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
四角形 があり、対角線の長さは 、 である。辺 、、、 の中点をそれぞれ 、、、 とするとき、四角形 の周の長さは何 か求めよ。
四角形 は、頂点が の順に並んだ凸四角形で、対角線の長さは 、 です。辺 , , , の中点をそれぞれ , , , とするとき、四角形 の周の長さは何 か求めなさい。
、 の があります。辺 の中点を とします。点 を通り辺 に平行な直線と辺 との交点を 、点 を通り辺 に平行な直線と辺 との交点を とします。このとき、四角形 の周の長さは何 か求めなさい。
において、辺 の中点を 、線分 の中点を とする。直線 と辺 との交点を とする。 のとき、線分 の長さを求めよ。
四角形 は、、 で、直線 と直線 が垂直である凸四角形である。辺 の中点を 、辺 の中点を とするとき、線分 の長さは何 cm か。
6 cm10 cm面積が の がある。辺 の中点を とし、辺 上に となる点 をとる。線分 と線分 の交点を とするとき、四角形 の面積は何 か求めよ。