三角形 ABC で、辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、DE と BC は平行です。AD の長さは 4 cm、DB の長さは 2 cm、BC の長さは 9 cm です。DE の長さは何 cm ですか。
4 cm2 cm9 cm
相似な三角形と長さの比
平行線がつくる相似な三角形（ピラミッド型・砂時計型）を見つけ、対応する辺の長さの比から辺の長さを求められる
前提
この技能までの道筋（8 技能）
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一覧で見る（前提が先）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
- 比の性質と簡単な比 （算数 割合と比）
- 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）
説明
平行な 2 本の線があると、形が同じで大きさだけがちがう 2 つの三角形（相似な三角形）ができます。相似な三角形では、対応する辺の長さの比がどこでも同じなので、その比を使ってわからない辺の長さが求められます。平行線がつくる相似の形には、小さい三角形が大きい三角形の中にある「ピラミッド型」と、2 つの三角形が頂点で向かい合う「砂時計型」があり、図形の長さの問題でとてもよく使います。
なぜそうしてよいのか
ある図形を、形を変えずに同じ割合で大きくした図（拡大図）や小さくした図（縮図）の関係にある 2 つの図形を、相似といいます。相似な 2 つの図形では、対応する角の大きさはすべて等しく、対応する辺の長さの比はどの辺でも同じです。たとえば 2 倍の拡大図なら、どの辺も 2 倍です。三角形は、3 つの角の大きさが等しければ形が決まるので、2 つの三角形で角がそれぞれ等しければ相似になります。三角形の角の和は 180 度なので、2 組の角が等しければ、残りの 1 組も自動的に等しくなります。
平行な 2 本の直線に 1 本の直線がななめに交わるとき、2 か所にできる「同じ位置の角」（同位角）や、「Z の字の形に向かい合う角」（錯角）は等しくなります。平行な線は同じ向きを向いているので、ななめの線との交わり方も同じになるからです。また、2 本の直線が交わってできる向かい合う角（対頂角）も等しくなります。
ピラミッド型: 三角形 ABC の辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E をとり、DE と BC が平行なとき、三角形 ADE と三角形 ABC は角 A が共通で、同位角により角 ADE と角 ABC が等しいので相似です。砂時計型: 平行な 2 本の線 AB と CD があり、AD と BC が点 O で交わるとき、三角形 OAB と三角形 ODC は、対頂角と錯角が等しいので相似です。相似なら、対応する辺どうしの比はすべて等しいので、1 組の対応する辺の比がわかれば、ほかの辺の長さが求められます。
手順
平行な 2 本の線を見つけ、ピラミッド型か砂時計型かを確かめる。
相似な 2 つの三角形と、等しい角から、対応する頂点（どの頂点とどの頂点が対応するか）を決める。
長さがわかっている 1 組の対応する辺の長さの比を求め、いちばん簡単な整数の比にする。ピラミッド型では、小さい三角形の辺と大きい三角形の辺全体（AD と AB）をくらべることに注意する。
求めたい辺と、それに対応する辺の比が手順 3 の比と等しいことから、比が等しくなる □ を求める。
例題
三角形 ABC で、辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、DE と BC は平行です。AD の長さは 4 cm、DB の長さは 2 cm、BC の長さは 9 cm です。DE の長さは何 cm ですか。
例題の解答
手順 1: DE と BC が平行で、小さい三角形 ADE が大きい三角形 ABC の中にあるので、ピラミッド型です。
手順 2: 角 A は共通で、DE と BC が平行なので同位角の角 ADE と角 ABC は等しいです。よって三角形 ADE と三角形 ABC は相似で、A と A、D と B、E と C が対応します。
手順 3: 対応する辺 AD と AB の比を求めます。AB は cm なので、AD : AB ＝ です。
手順 4: DE に対応する辺は BC なので、DE : BC ＝ 2 : 3 です。BC ＝ 9 cm で、 より比の 1 にあたる長さは cm、DE は cm です。
答えは 6 cm です。
答え:
よくある誤り
ピラミッド型で、AD と DB の比をそのまま相似の比にしてしまう誤り。例: AD : DB ＝ 4 : 2 ＝ 2 : 1 を DE : BC の比として使い、DE ＝ cm としてしまう。正しくは対応する辺は AD と AB なので、AD : AB ＝ 4 : 6 ＝ 2 : 3 を使い、DE ＝ cm。
対応する頂点を取りちがえて、対応しない辺どうしで比を作ってしまう誤り。例: 三角形 ADE の AD と三角形 ABC の BC をくらべてしまう。正しくは等しい角の位置から対応を決め、D と B、E と C が対応するので AD と AB、DE と BC をくらべる。
砂時計型で、上下の三角形の辺の対応を逆にしてしまう誤り。例: AB と CD が平行で AD と BC が O で交わるとき、AO と OC を対応する辺としてしまう。正しくは三角形 OAB と三角形 ODC で A と D、B と C が対応するので、AO と DO、BO と CO、AB と DC が対応する辺。
平行でない線から相似を作ってしまう誤り。例: DE と BC が平行と書かれていないのに、三角形 ADE と三角形 ABC が相似だとして比を使ってしまう。正しくは、平行線などで 2 組の角が等しいことが確かめられたときだけ相似の比を使う。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
三角形 ABC があります。辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E をとると、直線 DE と辺 BC は平行になりました。AD の長さは 6 cm、DB の長さは 3 cm、DE の長さは 8 cm です。このとき、辺 BC の長さは何 cm ですか。
8 cm6 cm3 cm三角形 ABC があり、その面積は です。辺 AB 上に点 D を、AD の長さが cm、DB の長さが cm となるようにとります。点 D を通り辺 BC に平行な直線が辺 AC と交わる点を E とします。四角形 DBCE の面積は何 ですか。
6 cm4 cm台形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいて、辺 AD と辺 BC が平行です。AD の長さは cm、BC の長さは cm です。対角線 AC と対角線 BD が交わる点を O とします。三角形 OBC の面積が のとき、三角形 OAD の面積は何 cm² ですか。
4 cm10 cm三角形 ABC の面積は です。辺 AB 上に点 D を、AD の長さと DB の長さの比が となるようにとります。点 D を通り辺 BC に平行な直線が辺 AC と交わる点を E とします。四角形 DBCE の面積は何 ですか。
平行四辺形 ABCD があり、頂点は A, B, C, D の順に並んでいて、面積は 60 cm² です。辺 AD 上に点 E を、AE の長さと ED の長さの比が となるようにとります。線分 BE と対角線 AC が交わる点を F とします。このとき、三角形 AEF の面積は何 cm² ですか。
色をつけた部分が三角形 AEF 角 B が直角の直角三角形 ABC があり、辺 AB の長さは 6 cm、辺 BC の長さは 9 cm です。この三角形の内側に、正方形 DBFE をかきます。正方形の頂点は D, B, F, E の順に並んでいて、点 D は辺 AB 上に、点 F は辺 BC 上に、点 E は辺 AC 上にあります。この正方形の 1 辺の長さは何 cm ですか。
6 cm9 cm色をつけた部分が正方形 DBFE 台形 ABCD があります。辺 AD と辺 BC は平行で、角 B は直角です。また、AB = 6 cm、AD = 3 cm、BC = 6 cm です。
この台形を対角線 AC で 2 つの三角形に分けます。そのうち三角形 ACD を、直線 AB を軸として 1 回転させてできる立体の体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。
6 cm3 cm6 cm長方形 ABCD があり、辺 AB の長さは 12 cm、辺 BC の長さは 18 cm です。頂点は A, B, C, D の順に並んでいて、辺 AD と辺 BC が平行です。辺 BC 上に点 E を、BE の長さが 12 cm となるようにとります。直線 AE と対角線 BD が交わる点を G とします。このとき、四角形 GECD の面積は何 cm² ですか。答えが整数にならないときは、分数で答えなさい。
12 cm18 cm12 cm底面の半径が 6 cm、高さが 9 cm の円すいがあります。この円すいの頂点を A、底面の円の中心を O とします。線分 AO は底面に垂直で、長さは 9 cm です。
線分 AO 上に、AP = 3 cm となる点 P をとります。点 P を通り、底面に平行な平面でこの円すいを切って、2 つの立体に分けました。
このうち、底面をふくむ方の立体の体積は何 cm³ ですか。円周率は 3.14 とします。
6 cm9 cm3 cm
この技能の次に学べること
- 相似な図形の面積の比 （算数 平面図形）
- 回転体の体積 （算数 立体図形）
- 三角形の相似条件と対応する辺の長さ （中学数学 相似と三平方の定理）