平面図形の問題

まず、三角形 GAD と三角形 GEB の形を比べます。AD と BE は平行なので、角 GAD と角 GEB は等しく（錯角）、角 GDA と角 GBE も等しい（錯角）です。したがって、三角形 GAD と三角形 GEB は同じ形（一方がもう一方の拡大図）で、辺の長さの比は $AD:EB=18:12=3:2$ です。

よって、$AG:GE=3:2$ です。

次に、三角形 ABE の面積は
$$12\times 12÷2=72({\text{cm}}^2)$$
です。三角形 ABE を、頂点 B と点 G を結ぶ線 BG で三角形 ABG と三角形 GBE に分けると、頂点 B からの高さが共通なので、面積の比は底辺の比 $AG:GE=3:2$ になります。よって、三角形 GBE の面積は
$$72\times \frac{2}{3+2}=\frac{144}{5}({\text{cm}}^2)$$
です。

三角形 BCD の面積は長方形の半分なので
$$12\times 18÷2=108({\text{cm}}^2)$$
です。四角形 GECD は、三角形 BCD から三角形 GBE を取り除いた部分なので、面積は
$$108-\frac{144}{5}=\frac{540}{5}-\frac{144}{5}=\frac{396}{5}({\text{cm}}^2)$$
となります。

答えは $\frac{396}{5}$ cm² です。

B を原点にして考えると分かりやすいので、AB=12 cm、BC=18 cm の長方形で、E は B から 12 cm の BC 上の点です。

1. 長方形の面積は 12×18=216 cm²。対角線 BD で二等分されるので、三角形 BCD の面積は 216÷2=108 cm²。
2. 四角形 GECD は、三角形 BCD から三角形 BEG を取り除いた図形です（G は BD 上、E は BC 上）。
3. 三角形 BEG の面積を求めるため、G の位置を調べます。AD と BC は平行なので、三角形 GAD と三角形 GEB は相似です（G は AE と BD の交点）。
- 相似比は AD：EB=18：12=3：2。
- よって G から BC までの高さは、AB の高さ 12 cm を 2：3 に分けた長さのうち EB 側で、12×2/(3+2)=24/5 cm。
4. 三角形 BEG の面積は 12×(24/5)÷2=144/5 cm²。
5. 四角形 GECD の面積は 108−144/5=(540−144)/5=396/5 cm²。

検算: B(0,0), C(18,0), D(18,12), A(0,12), E(12,0) とすると直線 AE は x+y=12、直線 BD は y=(2/3)x で、交点 G は (36/5, 24/5)。G, E, C, D の順に座標で面積を求める方法でも 396/5 になる。

答え: 396/5 cm²（79.2 cm²）