平面図形の問題

AF : FC と EF : FB を求める

平行四辺形なので、辺 AD と辺 BC は平行です。このため、三角形 AEF と三角形 CBF は、角の大きさがそれぞれ等しく、同じ形（相似）になっています（角 FAE と角 FCB はさっ角で等しく、角 FEA と角 FBC もさっ角で等しい）。

AE : ED $=2:1$ なので、AE の長さは AD の長さの $\frac{2}{3}$ です。BC の長さは AD の長さと等しいので、
$$\text{AE}:\text{CB}=2:3$$
です。相似な三角形の対応する辺の比は等しいので、
$$\text{AF}:\text{FC}=2:3,\text{EF}:\text{FB}=2:3$$
となります。

面積を求める

対角線 AC は平行四辺形を面積の等しい 2 つの三角形に分けるので、三角形 ABC の面積は
$$60÷2=30{\text{（cm}}^2\text{）}$$
です。

三角形 ABF と三角形 CBF は、それぞれ AF, FC を底辺とみると高さが等しいので、面積の比は AF : FC $=2:3$ です。よって三角形 ABF の面積は
$$30\times \frac{2}{2+3}=12{\text{（cm}}^2\text{）}$$
です。

三角形 AEF と三角形 ABF は、それぞれ EF, FB を底辺とみると高さが等しいので、面積の比は EF : FB $=2:3$ です。よって三角形 AEF の面積は
$$12\times \frac{2}{3}=8{\text{（cm}}^2\text{）}$$
です。

答え: 8 cm²

AE と ED の比が 2:1 なので、AE は AD の 2/3 です。AD と BC は等しいので、AE:BC=2:3 です。

AD と BC は平行なので、三角形 AEF と三角形 CBF は形が同じ（相似）で、相似比は AE:CB=2:3 です。よって AF:FC=2:3 です。

三角形 ABC の面積は平行四辺形の半分で 60÷2=30 cm² です。
AF:FC=2:3 より AF は AC の 2/5 なので、三角形 ABF の面積は三角形 ABC の 2/5 で、30×2/5=12 cm² です。

次に三角形 ABE を考えます。底辺を AE、高さを AB と AD の間の高さ（平行四辺形の高さ）とすると、面積は平行四辺形の (2/3)÷2=1/3 なので、60×1/3=20 cm² です。
三角形 ABE は三角形 ABF と三角形 AEF に分かれる（F は BE 上）ので、三角形 AEF=20−12=8 cm² です。

確かめ：三角形 AEF と三角形 CBF の面積の比は相似比の 2 乗で 4:9。三角形 CBF は三角形 ABC の 3/5 で 30×3/5=18 cm²。18×4/9=8 cm² となり一致します。