平面図形の問題

台形 ABCD は、線分 AE と BE によって、三角形 ABE、三角形 ADE、三角形 BCE の 3 つに分けられます。そこで、台形の面積から三角形 ADE と三角形 BCE の面積をひいて求めます。

(1) 台形 ABCD の面積
$$(6+12)\times 8÷2=72{\text{ (cm}}^2\text{)}$$

(2) 点 E の位置（高さ）
点 E は辺 CD を、D の側から $3:1$ に分ける点です。点 D は辺 AD 上に、点 C は辺 BC 上にあるので、台形の高さ 8 cm も同じ比に分けられます。
点 E から辺 AD までのきょり: $8\times \frac{3}{4}=6$ (cm)
点 E から辺 BC までのきょり: $8\times \frac{1}{4}=2$ (cm)

(3) 三角形 ADE の面積（底辺 AD、高さ 6 cm）
$$6\times 6÷2=18{\text{ (cm}}^2\text{)}$$

(4) 三角形 BCE の面積（底辺 BC、高さ 2 cm）
$$12\times 2÷2=12{\text{ (cm}}^2\text{)}$$

(5) 三角形 ABE の面積
$$72-18-12=42{\text{ (cm}}^2\text{)}$$

答えは $42$ cm² です。

三角形 ABE の面積を、台形 ABCD から他の部分を引いて求めます。台形の面積は $(6+12)\times 8÷2=72$ cm² です。台形を 3 つの三角形 ABE、ADE、BCE に分けます（ABE は辺 AB と点 E で作られる三角形）。実は AB の位置によらないことを使って、A の真下に B があるように（AB が高さ 8 cm になるように）かきます。

このとき三角形 ABE は、底辺を AB（8 cm）と見ると、高さは E から直線 AB までの長さです。E は CD 上にあり、DE : EC $=3:1$ です。D は直線 AB から 6 cm、C は直線 AB から 12 cm はなれています。E は D から C へ向かって $\frac{3}{4}$ の位置なので、直線 AB からの距離は $6+(12-6)\times \frac{3}{4}=10.5$ cm です。よって三角形 ABE の面積は $8\times 10.5÷2=42$ cm² です。

確かめ: 他の三角形を求める。ADE は底辺 AD = 6 cm、高さは E から AD までで $8\times \frac{1}{4}=2$ cm… ではなく、E は D から C へ $\frac{3}{4}$ 進んでいるので AD からの距離は $8\times \frac{3}{4}=6$ cm、面積 $6\times 6÷2=18$ cm²。BCE は底辺 BC = 12 cm、E から BC までの距離は $8\times \frac{1}{4}=2$ cm、面積 $12\times 2÷2=12$ cm²。$42+18+12=72$ cm² で台形の面積と一致します。