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平行四辺形と特別な四角形の性質

平行四辺形・長方形・ひし形・正方形の辺・角・対角線の性質を使い、角の二等分線でできる二等辺三角形などを見つけて角の大きさや線分の長さを求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  1. 三角形の角の大きさ （算数 平面図形）
  2. 対頂角と平行線の同位角・錯角 （中学数学 平面図形）
  3. 三角形の外角と角の組み合わせ （中学数学 平面図形）
  4. 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
  5. 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
  6. 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
  7. 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
  8. 逆算（□ を求める） （算数 計算と数のきまり）
  9. 正負の数の加法・減法 （中学数学 数と式）
  10. 四則の混じった計算の順序 （算数 計算と数のきまり）
  11. 正負の数の乗除・累乗と四則混合 （中学数学 数と式）
  12. 分配法則を使った計算のくふう （算数 計算と数のきまり）
  13. 文字式の計算（同類項・分配法則） （中学数学 数と式）
  14. 1 次方程式の解き方 （中学数学 方程式）
  15. 二等辺三角形の角 （中学数学 平面図形）

説明

平行四辺形（2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形）と、その特別な形である長方形・ひし形・正方形について、辺・角・対角線の性質を使えるようになります。特に、平行線と角の二等分線を組み合わせると二等辺三角形ができることを見つけて、角の大きさや線分の長さを求める問題を解けるようになります。

なぜそうしてよいのか

平行四辺形 ABCD（頂点を A, B, C, D の順に結んだもの）では、AB と DC、AD と BC がそれぞれ平行です。まず角について、平行線の性質から理由が説明できます。辺 BA を A の先へのばすと、AD ∥ BC なので、のばした線と AD がつくる角は と同位角で等しくなります。この角と を合わせると一直線の なので、となり合う角の和は です。同じように なので、 となり、向かい合う角は等しくなります（ も同様）。

辺と対角線については、ここでは次の性質を覚えて使います（理由はのちに三角形の合同を学ぶと証明できます）。
・平行四辺形の向かい合う辺は等しい（、）。
・平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。
また、4 つの角がすべて等しい（どれも ）四角形を長方形、4 つの辺がすべて等しい四角形をひし形、その両方である四角形を正方形といいます。次のことも性質として覚えて使います。
・長方形・ひし形・正方形はどれも平行四辺形なので、上の平行四辺形の性質をすべてもつ。
・長方形の対角線は長さが等しい。
・ひし形の対角線は垂直に交わり、それぞれの頂点の角を二等分する。
・正方形の対角線は長さが等しく、垂直に交わる。

問題でよく使うのは、平行線と角の二等分線の組み合わせです。平行四辺形 ABCD で の二等分線が辺 BC と点 E で交わるとき、AD ∥ BC なので錯角が等しく です。二等分線なので です。よって となり、三角形 ABE は 2 つの角が等しいので の二等辺三角形です（2 つの角が等しい三角形は、その 2 つの角の向かいにある辺が等しい二等辺三角形）。

手順

  1. 四角形の種類を確かめ、使える性質（向かい合う辺・角が等しい、となり合う角の和が 、対角線が中点で交わる、長方形の対角線は等しい、ひし形の対角線は垂直、など）を書き出す

  2. 平行な辺と、それを横切る線（角の二等分線や対角線）を見つけ、錯角・同位角で等しい角に印をつける

  3. 角の二等分線でできる等しい角と錯角を組み合わせたり、ひし形の等しい辺に注目したりして、二等辺三角形を見つける

  4. 二等辺三角形の等しい辺・底角や、平行四辺形の向かい合う辺が等しいことを使って、長さや角の大きさを計算する

例題

平行四辺形 ABCD で、、 である。 の二等分線と辺 BC との交点を E とするとき、線分 EC の長さは何 cm か求めよ。

例題の解答

【手順 1】平行四辺形なので AD ∥ BC、向かい合う辺は等しく です。

【手順 2】AD ∥ BC で、AE がこの 2 本を横切るので、錯角が等しく です。

【手順 3】AE は の二等分線なので です。手順 2 と合わせて となり、三角形 ABE は の二等辺三角形です。

【手順 4】 なので、 です。

答え:

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること