平面図形の問題

平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので、$\mathrm{AB}\parallel \mathrm{DC}$、$\mathrm{DC}=\mathrm{AB}=6\text{cm}$ である。

$\mathrm{AE}$ は $\angle \mathrm{BAD}$ の二等分線なので
$$\angle \mathrm{BAF}=\angle \mathrm{DAF}$$
また、$\mathrm{AB}\parallel \mathrm{DF}$ より、錯角は等しいので
$$\angle \mathrm{BAF}=\angle \mathrm{AFD}$$
よって $\angle \mathrm{DAF}=\angle \mathrm{AFD}$ となり、$△\mathrm{DAF}$ は $\mathrm{DA}=\mathrm{DF}$ の二等辺三角形である。

したがって $\mathrm{DF}=\mathrm{DA}=10\text{cm}$ であり、$\mathrm{F}$ は $\mathrm{DC}$ を $\mathrm{C}$ の側に延長した直線上にあるので
$$\mathrm{CF}=\mathrm{DF}-\mathrm{DC}=10-6=4$$

（参考：同じように $\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ の錯角から $△\mathrm{ABE}$ も二等辺三角形で $\mathrm{BE}=6\text{cm}$、$\mathrm{EC}=4\text{cm}$ となり、$△\mathrm{ECF}$ も $\mathrm{EC}=\mathrm{CF}$ の二等辺三角形であることからも確かめられる。）

答えは $4\text{cm}$ である。

$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ なので、錯角は等しく $\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{AEB}$。$\mathrm{AE}$ は $\angle \mathrm{BAD}$ の二等分線だから $\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{DAE}$。よって $\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{AEB}$ となり、$△\mathrm{ABE}$ は $\mathrm{BA}=\mathrm{BE}$ の二等辺三角形。したがって $\mathrm{BE}=6\text{cm}$、$\mathrm{EC}=10-6=4\text{cm}$。

$\mathrm{AB}\parallel \mathrm{CF}$ より、$△\mathrm{ABE}$ と $△\mathrm{FCE}$ は、$\angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{FEC}$（対頂角）、$\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{FCE}$（錯角）で相似。相似比は $\mathrm{BE}:\mathrm{CE}=6:4=3:2$。よって $\mathrm{AB}:\mathrm{FC}=3:2$ より $\mathrm{CF}=6\times \frac{2}{3}=4\text{cm}$。

検算: $\angle \mathrm{DFA}=\angle \mathrm{BAF}$（$\mathrm{AB}\parallel \mathrm{DF}$ の錯角）$=\angle \mathrm{DAF}$ なので $\mathrm{DF}=\mathrm{DA}=10$。$\mathrm{CF}=\mathrm{DF}-\mathrm{DC}=10-6=4$。一致する。