平面図形の問題

正五角形の 1 つの内角

五角形の内角の和は $180^{\circ }\times (5-2)=540^{\circ }$ なので、正五角形の 1 つの内角は

$$540^{\circ }÷5=108^{\circ }$$

$\angle \mathrm{BAC}$ の大きさ

$△\mathrm{ABC}$ は $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}$ の二等辺三角形で、$\angle \mathrm{ABC}=108^{\circ }$ なので、

$$\angle \mathrm{BAC}=(180^{\circ }-108^{\circ })÷2=36^{\circ }$$

$\angle \mathrm{ABE}$ の大きさ

$△\mathrm{ABE}$ は $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}$ の二等辺三角形で、$\angle \mathrm{BAE}=108^{\circ }$ なので、

$$\angle \mathrm{ABE}=(180^{\circ }-108^{\circ })÷2=36^{\circ }$$

$\angle \mathrm{APE}$ の大きさ

$\angle \mathrm{APE}$ は $△\mathrm{ABP}$ の頂点 $\mathrm{P}$ における外角である（$\mathrm{B}$、$\mathrm{P}$、$\mathrm{E}$ は一直線上にある）。三角形の外角は、それと隣り合わない 2 つの内角の和に等しいので、

$$\angle \mathrm{APE}=\angle \mathrm{PAB}+\angle \mathrm{PBA}=36^{\circ }+36^{\circ }=72^{\circ }$$

答え: $72^{\circ }$

正五角形の 1 つの内角は $180^{\circ }\times (5-2)÷5=108^{\circ }$。

$△\mathrm{ABC}$ は $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ の二等辺三角形で $\angle \mathrm{B}=108^{\circ }$ なので、$\angle \mathrm{BAC}=(180^{\circ }-108^{\circ })÷2=36^{\circ }$。
同様に $△\mathrm{ABE}$ は $\mathrm{AB}=\mathrm{AE}$ の二等辺三角形で $\angle \mathrm{A}=108^{\circ }$ なので、$\angle \mathrm{ABE}=36^{\circ }$。

$△\mathrm{ABP}$ で $\angle \mathrm{PAB}=36^{\circ }$、$\angle \mathrm{PBA}=36^{\circ }$ より $\angle \mathrm{APB}=180^{\circ }-36^{\circ }-36^{\circ }=108^{\circ }$。
点 P は線分 BE 上にあるので、B, P, E は一直線上にあり、$\angle \mathrm{APE}=180^{\circ }-\angle \mathrm{APB}=180^{\circ }-108^{\circ }=72^{\circ }$。

【検算】$△\mathrm{APE}$ で $\angle \mathrm{PAE}=108^{\circ }-36^{\circ }=72^{\circ }$、$\angle \mathrm{AEP}=\angle \mathrm{AEB}=36^{\circ }$ なので、$\angle \mathrm{APE}=180^{\circ }-72^{\circ }-36^{\circ }=72^{\circ }$。一致する。

答え $72^{\circ }$